Hver var Carl Friedrich Gauss og hvert var framlag hans til stærðfræðinnar?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hver var Carl Friedrich Gauss og hvert var framlag hans til stærðfræðinnar?
Rétt eins og hefð er orðin að segja að Bach, Mozart og Beethoven séu mestu tónskáld sögunnar, án þess að samkomulag sé um hver eigi fjórða sætið, er löngu orðið til siðs að nefna Arkimedes, Newton og Gauss sem þrjá mestu stærðfræðinga allra tíma. Gauss var þegar í lifanda lífi kallaður princeps mathematicorum, sem mætti bæði þýða „fremstur stærðfræðinga“ eða „stærðfræðingafursti“. Þótt hann léti til sín taka í flestum raunvísindagreinum síns tíma, væri stjarnfræðingur að atvinnu og ynni auk þess fyrir sér með landmælingum, var stærðfræðin honum jafnan hugleiknust. Eftir honum er haft að stærðfræði sé drottning vísindanna og talnafræði drottning stærðfræðinnar; þótt stærðfræðin stígi oft niður til að þjóna stjarnfræði og öðrum náttúruvísindum sæmi henni aðeins æðsta sætið. Auk þess að vera frábær stærðfræðingur var Gauss einstaklega góður í reikningi, en þeir hæfileikar fara ekki alltaf saman. Hann þurfti oft að leysa af hendi umfangsmikla reikninga í störfum sínum, og einn afrakstur þess var að hann fann upp ýmsar reikniaðferðir til að vinna úr mælinganiðurstöðum, en endurbætti aðrar.

Johann Friedrich Karl Gauss fæddist í Braunschweig í Þýskalandi 30. apríl 1777. Síðar sleppti hann fremsta nafninu, skipti um röð á hinum tveimur og nefndi sig Carl Friedrich Gauss. Hann var undrabarn, og sögur eru til um óvenjulega hæfileika hans í reikningi og stærðfræði allt frá því hann leiðrétti reiknivillur föður síns þriggja ára að aldri. Að loknu námi í Collegium Carolinum (sem síðar varð að Tækniháskólanum í Braunschweig) og háskólanum í Göttingen fékk hann doktorsnafnbót árið 1799 frá háskólanum í Helmstedt (sem lagðist af árið 1810) án þess að hafa stundað þar nám. Doktorsritgerðin var sönnun svokallaðrar undirstöðusetningar algebrunnar, sem fjallar um tilvist lausna á algebrulegum jöfnum. Þótt sönnunin hafi verið strangari en eldri tilraunir byggðist hún að hluta til á staðreyndum sem þá töldust „augljósar“, en teljast nú til viðfangsefna grannfræðinnar og voru ekki sannaðar endanlega fyrr en löngu síðar. Seinna gaf Gauss þrjár aðrar sannanir.

Þegar Gauss var sautján ára sýndi hann að teikna má reglulegan 17-hyrning með hringfara og reglustiku. Raunar var sú niðurstaða hluti af athugun sem gerði honum kleift að ákvarða hvaða reglulega marghyrninga má teikna þannig, og með því leysti hann gátu sem hafði verið ósvarað frá því í fornöld. Þeirri niðurstöðu er ásamt mörgu öðru lýst í bókinni Disquisitiones arithmeticae, sem hann lauk við 21 árs að aldri árið 1798 (þótt hún kæmi ekki út fyrr en 1801 vegna erfiðleika við prentun) og má kannski telja merkasta rit Gauss og jafnframt undirstöðurit nútímatalnafræði. Áður hafði talnafræði verið samsafn af ýmsum forvitnilegum niðurstöðum án sjáanlegs samhengis, en í bókinni sýnir Gauss hvernig koma má bæði eldri niðurstöðum og glænýjum fyrir í heildstætt kerfi.

Hér sést Gauss á austur-þýsku frímerki frá 1977. Hvíta formið hægra megin við hann er reglulegur 17-hyrningur, sem er umlukinn af hringfara og reglustiku.

Bókin um talnafræði vakti mikla athygli meðal stærðfræðinga, en meðal almennings var það annað afrek Gauss sem vakti meiri athygli. Fyrsta dag ársins 1801 uppgötvaðist dvergreikistjarna sem hlaut nafnið Ceres, en í febrúar var hún komin of nálægt sólu til að sjást. Gauss tókst að ákvarða braut hennar út frá tiltölulega fáum mælingum og gat þannig sagt fyrir um hvar og hvenær hún yrði aftur sjáanleg á himni. Á síðasta degi ársins fannst Ceres síðan aftur þar sem Gauss hafði sagt fyrir um. Meðal þeirra aðferða sem hann notaði til að ákvarða brautina var svokölluð „aðferð minnstu ferninga“, en hana má almennt nota til að finna ferla sem falla best að mælinganiðurstöðum. Aðferðin er meðal þess sem vísindamenn grípa enn þá til dagsdaglega.

Störf Gauss að landmælingum kveiktu hjá honum ýmsar spurningar sem kröfðust stærðfræðilegra úrlausna. Þar sem ekki er unnt að búa til landabréf þannig að hlutföll fjarlægða milli punkta haldist óbreytt þarf að leita að öðrum æskilegum eiginleikum, og Gauss athugaði hvernig gera má mynd af einum fleti á öðrum þannig að horn milli ferla á flötunum haldist óbreytt. Vera kann að landmælingarnar hafi líka orðið kveikjan að almennari athugunum Gauss á sveigðum flötum. Hann skilgreindi krappa slíks flatar og sýndi meðal annars fram á að krappinn sé „innri eiginleiki“ flatarins, sem þýðir að hann breytist ekki þótt flöturinn sé beygður án þess að vera teygður. Telja má að þessar rannsóknir Gauss hafi lagt grunninn að deildarúmfræði nútímans, sem fjallar meðal annars um sveigð rúm, og er undirstöðugrein fyrir margar aðrar fræðigreinar, svo sem almennu afstæðiskenninguna.

Gauss prýddi 10 marka seðilinn í Þýskalandi frá árinu 1991 þar til evran var tekin upp þar í landi árið 2002. Ferillinn í forgrunni bygginganna vinstra megin við Gauss er ferill Gauss-dreifingarinnar.

Athuganir Gauss í stjörnufræði og landmælingum urðu honum tilefni til að velta fyrir sér hvaða lögmálum tilviljanakenndar mæliskekkjur lúta. Hann komst að því að skekkjurnar dreifast um tiltekið meðalgildi samkvæmt reglu sem nú nefnist „Gauss-dreifing“ eða „normaldreifing“ og er algjört undirstöðuhugtak í líkindafræði og tölfræði. Athuganir sínar í líkindafræði notaði Gauss líka á veraldleg málefni, svo sem til að endurskipuleggja ekknasjóð háskólans í Göttingen. Enn ein afurð athugana hans á hvernig reikna megi stærðir út frá mælingum var aðferð til að leysa hneppi af línulegum jöfnum, sem kallast nú „Gauss-eyðing“.

Af öðrum athugunum Gauss í stærðfræði sem hann lét frá sér fara í lifanda lífi verður að nægja að nefna nokkrar í upptalningu án frekari skýringa: Hann rannsakaði svokallað „markmeðaltal“ og fann tengsl þess við sporger heildi, hann birti athuganir á hvernig reikna má ákveðin heildi með tölulegum aðferðum, og hann rannsakaði ítarlega svokölluð ofurrúmkynja föll.

Sem stærðfræðingur vann Gauss í fullkominni einangrun. Það er allsendis ólíkt starfsháttum hans í öðrum vísindagreinum, því að hann átti í viðamiklum bréfaskiptum um stjörnufræði, eðlisfræði og landmælingar við fjölda annarra vísindamanna. Landmælingarnar vann Gauss til dæmis í samstarfi við marga aðra, og þó einkum við stjarnfræðinginn Heinrich Christian Schumacher. Þess má geta að aðstoðarmaður Schumachers um tveggja ára skeið var Björn Gunnlaugsson, sem síðar varð stærðfræðikennari við Bessastaðaskóla og gerði uppdrátt af Íslandi.

Gauss átti sér skjaldarmerki, sem sýnt er á myndinni hér að ofan. Á því má sjá ávaxtatré með nokkrum aldinum, og undir eru rituð latnesku orðin „pauca sed matura“ („fá en þroskuð“). Nú er ekki hægt að segja að Gauss hafi látið frá sér fáar ritgerðir, en þær voru þeim mun þroskaðri. Hann vildi gera niðurstöður sínar að „fullkomnu listaverki“; þannig orðar fyrsti ævisöguritari hans það og hefur í því samhengi eftir Gauss að „ekki megi, þegar góð bygging hefur verið reist, lengur sjá vinnupallana“. Þetta varð til þess að Gauss gaf ekki út niðurstöður sínar nema honum fyndist þær vera komnar í fullkomlega viðunandi búning. Margur stærðfræðingurinn þurfti að frétta sér til skapraunar að niðurstöður hans hefði Gauss fundið löngu fyrr, en ekki fundist tímabært að birta þær.

Meðal þess merkasta sem Gauss birti aldrei voru athuganir hans á svonefndri óevklíðskri rúmfræði. Í þeirri venjulegu rúmfræði sem kennd er við Evklíð gildir sú regla að gegnum punkt utan við beina línu í sléttum fleti liggur nákvæmlega ein lína í fletinum sem er samsíða gefnu línunni. Evklíð gaf sér þetta sem ósannaða forsendu, og í meira en tvö þúsund ár reyndu menn að sanna hana án árangurs. Gauss gerði sér ungur grein fyrir að ekki væri unnt að sanna forsendu Evklíðs, og að til væri önnur rúmfræði þar sem línurnar gegnum gefna punktinn samsíða gefnu línunni geta verið fleiri. Hann sannaði margar niðurstöður í þessari nýju rúmfræði, en birti þær aldrei. Þegar J. Bolyai (1832) og N. I. Lobatsjevskíj (1829-30) birtu verk sín um óevklíðska rúmfræði sagði Gauss ekkert opinberlega, og þau vöktu litla athygli og frekar háðsglósur en skilning. Það var ekki fyrr en eftir 1860, þegar í ljós kom að sjálfur Gauss hafði lagt stund á óevklíðska rúmfræði í skápnum, að þau fóru að öðlast viðurkenningu. Nú á dögum hlýtur uppgötvun óevklíðskrar rúmfræði að teljast meðal merkustu atburða í stærðfræðisögunni, því að smám saman gjörbreytti hún skilningi manna á eðli stærðfræðinnar.

Í bréfum frá Gauss til stjarn- og stærðfræðingsins Friedrichs Wilhelms Bessel kemur fram að Gauss hafði fundið niðurstöðu sem nú kallast „Cauchy-setningin“ á undan Cauchy, en hún er undirstaða svokallaðrar tvinnfallagreiningar. Gauss áttaði sig líka á að til að fjalla um sporger föll verður að grípa til tvinnfallagreiningar. Hann gerði sér til dæmis grein fyrir að lengd hnappeldubogans hefur andhverfu sem er sporgert fall með eina lotu sem er rauntala og aðra sem er þvertala. Flest af því sem hann gerði á þessu sviði var óbirt meðan hann lifði.

Gauss gat sér til um sannleiksgildi svokallaðrar „frumtalnasetningar“, sem lýsir dreifingu frumtalna meðal annarra náttúrlegra talna, en lét aldrei neitt í ljós um þá tilgátu. Hún var ekki sönnuð fyrr en 1896.

Stytta af Gauss úr Valhöll í Bæjaralandi, þar sem geymdir eru minnisvarðar til heiðurs virtum Þjóðverjum.

Hér hefur aðeins fátt eitt verið nefnt af því sem fannst í handritum Gauss að honum látnum, sumt í frágengnum greinum, sumt í stuttlegum athugasemdum á bréfsnifsum. Áætlað hefur verið að hann hafi einungis birt um helming hugmynda sinna á prenti, og margt af því sem hann birti var ekki auðvelt aflestrar. Hann skrifaði til dæmis flestar greinar sínar á latínu, þegar sú hefð að fræðimenn rituðu á því máli var svo að segja útdauð.

Gauss var af fátæku fólki kominn og lifði allt sitt líf hálfgerðu meinlætalífi; þau nútímaþægindi sem þekktust á hans tíma lét hann að mestu fram hjá sér fara. Hann sóttist ekki eftir frama, en var þó vel meðvitaður um mikilvægi verka sinn. Um það vitna til dæmis heitin sem hann gaf sumum af niðurstöðum sínum, svo sem Aureum theorema, Theorema egregium og Theorema elegantissimum (hin gullna, hin frábæra og hin glæsilegasta setning). Hann átti það til að skrifa með nokkurri lítilsvirðingu um mistök annarra stærðfræðinga í einkabréfum, en í ritdómum sem hann birti opinberlega um verk annarra, og þeir voru nokkuð margir, var hann sanngjarn, málefnalegur og venjulega frekar jákvæður. Hann var frábær málamaður; latínu og grísku kunni hann það vel að sagt er að hann hafi um tíma hugleitt að leggja fyrir sig fornfræði í stað stærðfræði, og einnig var hann sagður hafa verið læs á flest Evrópumál. Á sjötugsaldri lærði hann rússnesku það vel að hann gat skrifast á við starfsbræður sína í Pétursborg og haldið uppi samræðum á því máli.

Árið 2005 kom út skáldsaga eftir þýska rithöfundinn Daniel Kehlmann, sem varð að alþjóðlegri metsölubók og var meðal annars þýdd á íslensku (Mæling heimsins, 2007). Sagan er í raun tvöföld ævisaga þeirra Gauss og Alexanders von Humboldt, en með fjölmörgum frávikum frá veruleikanum. Í bókinni er dregin upp mynd af báðum vísindamönnunum sem telja verður grófa skrumskælingu, en hún er þó að einhverju leyti byggð á heimildum, og Humboldt er sýndur í skoplegra ljósi en Gauss. Gauss gat verið fjarlægur og kuldalegur í viðkynningu. Það er kannski fróðlegt að lesa hvernig Humboldt lýsir Gauss (í bréfi til Schumachers): „Ég varð frá mér numinn að umgangast Gauss náið; hann virtist líka vera ásáttur. Í upphafi og við ókunnuga er hann að vísu kaldur eins og jökull og tekur engan þátt í nánast nokkru því sem liggur utan hans eigin markaða snertihrings.“

Gauss lést í Göttingen 23. febrúar 1855.

Frekari umfjöllun um Gauss á Vísindavefnum má finna í svari Leós Kristjánssonar við spurningunni Hvert var framlag Gauss til annarra vísindagreina en stærðfræði?

Heimildir og frekara lesefni:

• Bühler, W. K. (1980). Gauss. A Biographical Study. Berlin-Heidelberg-New York. Springer-Verlag.
• Dunnington, G. W. (1955). Carl Friedrich Gauss. Titan of Science. New York. Hafner Publishing. Endurútg. (2004) af Mathematical Association of America.
• Goldstein, C., Schappacher, N., Schwermer, J. [ritstj.] (2007). The Shaping of Arithmetic after C.F. Gauss’s Disquisitiones Arithmeticae. Berlin, Heidelberg, New York. Springer-Verlag.
• Gauss, C.F. (1863-1929). Werke I-XII. Göttingen. [Königliche] Gesellschaft der Wissenschaften.
• Hall, T. (1963). Gauss. Matematikernas konung. Stockholm. Bokförlaget Prisma.
• Kehlmann, D. (2007). Mæling heimsins [þýð. Elísa Björg Þorsteinsdóttir]. Reykjavík. Bjartur.
• May, K. O. (1981), Gauss, Carl Friedrich. Í Dictionary of Scientific Biography, 5. bindi [ritstj. C. C. Gillispie]. New York, C. Scribner’s Sons.
• Sartorius von Waltershausen, W. (1856). Gauss zum Gedächtniss. Leipzig. S. Hirzel.

Myndir:

• Mynd af Gauss: Wikipedia. Sótt 28. júlí 2011.
• Frímerki: Wikipedia. Sótt 28. júlí 2011.
• 10 marka seðill: Wikipedia. Sótt 28. júlí 2011.
• Skjaldarmerki Gauss: Gauss Gallery. Sótt 28. júlí 2011.
• Stytta úr Valhöll: Flickr. Myndin var tekin af Mauro Codella og er birt með Creative Commons leyfi. Sótt 28. júlí 2011.

...