Er mengi rauntalna hlutmengi í mengi tvinntalna?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Er mengi rauntalna hlutmengi í mengi tvinntalna?
Svarið við þessari spurningu er já. Við skulum skoða af hverju.

Tvinntala er tala sem skrifa má á forminu $z =x+iy$, þar sem $x$ og $y$ eru rauntölur. Talan $i$ er skilgreind þannig að $i^2 = -1$. Talan $x$ kallast raunhluti og $y$ þverhluti tölunnar $z$. Tvö sértilvik er vert að athuga. Ef $x = 0$ er $z = 0 + iy = iy$, það er að segja að $z$ hefur aðeins þverhluta og kallast þvertala. En ef $y = 0$ er $z = x + i\cdot0 = x$, það er að segja að $z$ er rauntala. Sérhverja rauntölu má því skrifa sem tvinntölu og rauntölumengið $\mathbb{R}$ er hlutmengi í mengi tvinntalna $\mathbb{C}$. Þvertölumengið er samkvæmt framansögðu líka hlutmengi í $\mathbb{C}$. Þó er sá munurinn að þvertölumengið er ekki lokað gagnvart margföldun sem kallað er: Þegar tvær þvertölur eru margfaldaðar saman kemur út rauntala. Því má segja að þvertölumengið sé ekki eins sjálfstætt og hin mengin.

Tvinntölur eru til margra hluta nytsamlegar í stærðfræði og skyldum greinum, og margvíslegar ástæður voru til þess að menn innleiddu þær á 18.-19. öld og hófu að rannsaka þær og nota. Einn af mikilvægum eiginleikum tvinntalna tengist margliðum. $n$-ta stigs margliða af $z$ er fall sem skrifa má sem$$P(x)=a_0+a_1\cdot z +a_2\cdot z^2+ ... + a_n\cdot z^n$$ þar sem stuðlarnir $a_0$, $a_1$, $a_2$, ..., $a_n$ eru rauntölur að svo stöddu. Ef leyfileg gildi á $z$ eru bundin við rauntölur er engan veginn víst að margliðan hafi rætur eða núllstöðvar sem kallað er, það er að segja að til séu rauntölur $x$ þannig að $P(x)= 0$. Hins vegar eru alltaf til tvinntölur $z$ þannig að $P(z)= 0$ og þær eru reyndar í vissum skilningi alltaf $n$ talsins.

Í almennri, hefðbundinni eðlisfræði eru tvinntölur notaðar á ýmsan hátt, til að mynda við stærðfræðilega meðferð á sveiflum og bylgjum, þar á meðal í riðstraumsrásum. Þó að stærðir sem eðlisfræðingar og verkfræðingar lesa af mælitækjum sínum séu auðvitað rauntölur, og reyndar ræðar tölur ef út í það er farið, þá hefur reynst afar hagkvæmt og skýrandi að beita tvinntölum í ýmsum millireikningum.

Auk þess eru tvinntölur eitt megintæki skammtafræðinnar, sem sést meðal annars af því að sjálft bylgjufall Schrödingers tekur tvinntölugildi og eiginleikar tvinntalna eru snar þáttur í allri uppbyggingu skammtafræðinnar. Tvinntölur koma einnig mjög við sögu í allri kennilegri eðlisfræði nútímans. Þar beita menn til dæmis svokallaðri tvinnfallagreiningu (complex analysis) sem fjallar um föll af tvinntölum sem taka tvinntölugildi....