Eru tvinntölurnar til í raun og veru?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Eru tvinntölurnar til í raun og veru?
Tölurnar sem við notum skiptast í mismunandi flokka eða mengi sem eru misgömul í hugmyndasögunni. Elstar eru þær sem við köllum náttúrlegar tölur: 1, 2, 3 og svo framvegis. Þær hafa vafalítið fylgt mönnum frá örófi alda. Löngu áður en sögur hófust hafa menn viljað lýsa fjölda ýmissa hluta kringum sig og notað til þess "tölur" eða eitthvað sem jafngildir þeim.

Næsta skref í þróun talnanna verður þegar menn fara að nota neikvæðar heilar tölur (eins og -1, -13) og núll og búa þannig til mengið heilar tölur. Þetta gerist á sögulegum tíma og er talið að Kínverjar hafi verið fyrstir til þess. Seinna settu menn svo fram hugmyndina um mengi ræðra talna, en það eru tölur sem hægt er að skrifa sem heila tölu deilt með annarri heilli tölu. Út frá þeim varð svo til hugmyndin um rauntölur sem markgildi raða af ræðum tölum. Við þær bættist síðan mengi tvinntalnanna sem rætt verður nánar um hér á eftir, en hvert nýtt mengi í þeirri sögu sem hér var lýst hefur að geyma þau fyrri sem hlutmengi.

Ein ástæðan til þess að menn velta fyrir sér "tilvist" tvinntalnanna, eins og spyrjandi okkar, er sjálfsagt sú að þær eru býsna framandi og menn þurfa jafnvel talsverðan tíma til að venjast þeim og notkun þeirra. En þegar upp er staðið er tilvist þeirra í eðli sínu ekki frábrugðin tilvist annarra talna. Tvinntölur "eru til" í sama skilningi og aðrar tölur, en hitt kann að vera góð og gild heimspekileg spurning, hvað orðin "eru til" merkja í þessu viðfangi, og verður vikið að því aftur í lok svarsins.

Tölurnar sem við notum dags daglega til að tákna vöruverð, skuldir, hraða, lengdir, eða fjölda vina okkar teljast allar til rauntalna. Þær duga ágætlega til síns brúks, en við útreikninga er oft þægilegt að grípa til svokallaðra tvinntalna.

Margir kannast sjálfsagt við það að svonefndar annars stigs jöfnur eiga sér ekki alltaf lausnir. Ef við lítum til dæmis á jöfnuna

x² + 2 x + 2 = 0

þá er ekki til nein rauntala x þannig að jafnan gildi þegar gildið á x er sett inn í hana. Þessu er hins vegar á annan veg farið ef x má vera tvinntala: Þá hefur jafnan alltaf eina eða tvær lausnir sem kallað er. Þetta er dæmi um einn af kostum þess að vinna með tvinntölur í stað rauntalna.

Tvinntölurnar eru safn talna sem inniheldur rauntölurnar sem hlutmengi eins og áður var sagt. Við skrifum tvinntölur oftast á forminu a + ib, þar sem a og b eru rauntölur og i er tala sem er þannig að i² = -1 (i margfaldað með sjálfu sér er mínus einn). Með öðrum orðum er i ferningsrótin af mínus einum. Venjuleg rauntala a samsvarar þá tvinntölunni a + i * 0.

Mörgum þykja tvinntölurnar óþægilegar og vafasamar þegar þeir sjá þær í fyrsta skipti, af því að við eigum því að venjast að hvaða tala sem er í öðru veldi sé stærri en núll og því er ekki til nein rauntala þannig að annað veldi hennar sé jafnt -1. Þess vegna þykir fólki tvinntölurnar oft óraunverulegri en venjulegu rauntölurnar, eins og að tvinntölurnar séu "ekki til".

Við getum þannig sett spurningamerki við það að gefa sér að til sé tala i þannig að i² = -1, án alls rökstuðnings. Sennilega er það þessi hlið tvinntalnanna sem veldur flestum nemendum áhyggjum. Rót vandans er sú að flestir sem læra ekki stærðfræði í háskóla sjá aldrei hvernig hægt að búa til tvinntölurnar út frá rauntölunum án þess að vísa til dulafullrar tölu sem verður -1 þegar hún er hafin í annað veldi. Sem betur fer er fljótlegt og einfalt að bæta úr þessu með því að fara aðra leið.

Uppskriftin að tvinntölunum byrjar þá á því að skoða pör eða tvenndir (a, b) af rauntölum. Þessi pör eru eins og hnit í plani þannig að röð talnanna skiptir máli; til dæmis er tvenndin (1, 2) ólík tvenndinni (2, 1). Við getum skilgreint samlagningu fyrir þessar tvenndir á einfaldan hátt með því að setja

(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)

Við getum líka skilgreint margföldun tveggja tvennda, þó á aðeins flóknari hátt, með

(a,b) * (c,d) = (ac-bd, ad+bc)

Nú geta lesendur skemmt sér við að athuga að tvenndin (1, 0) hegðar sér eins og rauntalan 1, það er að ef við margföldum einhverja tvennd (a,b) með henni þá fáum við út sömu tvennd. Einnig getum við auðveldlega reiknað út að (0, 1) * (0, 1) = (-1, 0).

Ef við komum okkur nú saman um að líta á rauntöluna a sem tvenndina (a, 0) og ákveðum að skrifa i fyrir tvenndina (0, 1), þá getum við skrifað sérhverja tvennd (a, b) sem a + ib. Þar að auki er þá i² = -1 eins og við reiknuðum út áðan. Tilvist tölunnar i kemur þannig fram sem afleiðing af reiknireglunum um samlagningu og margföldun sem við innleiddum hér á undan.

Við höfum þannig búið tvinntölurnar til út frá rauntölunum án þess að gera fyrirfram ráð fyrir tilvist einhverrar dularfullrar tölu sem er jöfn -1 þegar hún er hafin í annað veldi. Ástæðan fyrir að þetta er ekki gert svona venjulega þegar tvinntölurnar eru kynntar er sennilega að það er talið mikilvægara að leyfa nemendum að reikna með þeim og sjá hvernig þær einfalda hina og þessa útreikninga en að smíða tvinntölurnar kórrétt frá upphafi.

Nú þegar tvinntölurnar eru komnar á sama tilverustig og rauntölurnar getum við rakið þrepin í stiganum ofan frá: Við getum búið til tvinntölurnar úr rauntölunum, rauntölurnar úr ræðu tölunum, ræðu tölurnar úr heiltölunum og heiltölurnar úr náttúrlegu tölunum. Hvernig þetta er gert er lauslega sýnt í svarinu við spurningunni Hvernig er stærðfræðileg sönnun þess að a + b = b + a og að (a + b) + c = a + (b + c) ef a, b og c eru rauntölur? Ef okkur finnst skrýtið að tvinntölurnar séu til, þá leiðir af þessu að okkur ætti líka að finnast skrýtið að náttúrlegu tölurnar séu til.

Þarna höfum við rétt svo klórað í stóra heimspekilega spurningu, það er hvort að það séu til einhverjar tölur yfir höfuð? Tölurnar eru ekki til sýnis á neinu safni, heldur eru þær afstrakt eða óhlutbundin hugtök. Eins og með öll slík hugtök getum við spurt okkur að hvaða leyti þær eru háðar tilvist mannkynsins. Væru tölurnar til ef enginn væri til að telja með þeim? Hafði hugtakið ,,einn`` einhverja merkingu áður en að lífið kviknaði í alheiminum og þróaðist að því marki að það gat byrjað að telja? Eða kannski áður en neitt var til sem hægt var að telja?

Heimspekingar eru ekki sammála um hvert svarið við þessum vangaveltum sé. Sumir telja að tölurnar hafi alltaf verið til og að þær eigi sér tilvist óháða vitsmunalífi. Aðrir halda því fram að þær séu tilbúningur okkar en að þær séu samt til á einhvern hátt. Enn öðrum finnst að tölurnar séu ekki til, heldur að þær séu bara handhæg hugmynd, og það er til fjöldinn allur af öðrum svörum við þessari spurningu. Þeim stærðfræðingum sem vinna ekki við undirstöður eða heimspeki stærðfræðinnar er þó alveg sama um þessar vangaveltur, eins og öllum öðrum sem nota tölur. Hvort tölurnar séu til eða ekki skiptir þá engu máli heldur hvað er hægt að gera með þeim, og þar hafa tölurnar löngu sannað notagildi sitt.

Tengt efni á Vísindavefnum:

• Hvað eru náttúrlegar tölur?
• Hvað eru heilar og ræðar tölur?
• Hvað eru rauntölur?

Myndir:

• Wikipedia - Complex number. (Sótt 1.6.2018).
• Wikipedia - Gerolamo Cardano. (Sótt 1.6.2018).
• Wikipedia - Leopold Kronecker. (Sótt 1.6.2018).

...