Sólin Sólin Rís 10:17 • sest 16:10 í Reykjavík
Tunglið Tunglið Rís 21:40 • Sest 15:54 í Reykjavík
Flóð Flóð Árdegis: 10:12 • Síðdegis: 22:46 í Reykjavík
Fjaran Fjara Árdegis: 03:46 • Síðdegis: 16:36 í Reykjavík
Sólin Sólin Rís 10:17 • sest 16:10 í Reykjavík
Tunglið Tunglið Rís 21:40 • Sest 15:54 í Reykjavík
Flóð Flóð Árdegis: 10:12 • Síðdegis: 22:46 í Reykjavík
Fjaran Fjara Árdegis: 03:46 • Síðdegis: 16:36 í Reykjavík
LeiðbeiningarTil baka

Sendu inn spurningu

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=
Forsíða Náttúruvísindi og verkfræði Stærðfræði Hvað eru rauntölur?

Flokkun:

14.11.2008
Náttúruvísindi og verkfræði Stærðfræði

Hvað eru rauntölur?

Gunnar Þór Magnússon

Við höfum áður fjallað nokkuð um tölur á Vísindavefnum og bendum lesendum á að kynna sér sérstaklega svör við spurningunum Hvað eru náttúrlegar tölur? og Hvað eru heilar og ræðar tölur?

Allt frá tímum Forngrikkja þekktu menn að þó ræðu tölurnar dugi til flestra verka, þá eru einnig til aðrar tölur. Í kringum 500 f.Kr. uppgötvaði Hippasus frá Metapontum að kvaðratrótin af 2 er ekki ræð tala og eyðilagði hann þar með heimsmynd Pýþagórasarreglunnar sem fól í sér að allar tölur mætti tákna með ræðum tölum. Stærðfræðingar nefndu þessar nýju tölur óræðar tölur. Með tímanum uppgötvuðu menn fleiri og fleiri óræðar tölur; til dæmis er rótin af n óræð tala ef n er ekki ferningstala, og bæði tölurnar e og pí (\(\pi\)) eru óræðar. Ræðu og óræðu tölurnar eru óendanlega margar, en í vissum skilningi eru til fleiri óræðar tölur en ræðar. Óformlega má lýsa óræðu tölunum sem þeim tölum sem hafa tugabrotaframsetningu sem fylgir engu mynstri; til dæmis er engin regla á aukastöfum pí:

\(\pi\) = 3,1415926535897932384...

Þegar við bætum óræðu tölunum við mengi ræðra talna fáum við rauntölurnar, sem við táknum með R. Rauntölunum má raða eftir stærð, þær má leggja saman og margfalda, hægt er að draga þær hverja frá annarri og deila þeim hverri í aðra, og það má taka kvaðratrót af jákvæðri rauntölu; útkoman verður alltaf önnur rauntala.



Menn hugsa sér oft að rauntölurnar liggi á svokallaðri talnalínu, eins og tölurnar liggja á reiknistokki.

Einn mikilvægasti eiginleiki rauntalnanna er að ef runa þeirra hefur markgildi, þá er markgildið rauntala. Óformlega þýðir það að ef við höfum safn af rauntölum sem fara eins nálægt gefinni tölu og við viljum, þá er sú tala rauntala. Þetta gildir ekki um ræðu tölurnar, því finna má runu þeirra sem stefnir á rótina af 2, en eins og áður kom fram er hún ekki ræð tala. Þessi eiginleiki gerir okkur kleift að stunda stærðfræðigreiningu, en hún byggir á markgildishugtakinu. Mikilvægi stærðfræðigreiningar er ein af aðalástæðunum fyrir því að við kynnum rauntölurnar til leiks.

Rauntölurnar skiptast semsagt í ræðar og óræðar tölur en þeim má einnig skipta í algebrulegar og torræðar tölur: Við segjum að rauntala sé algebruleg ef hún er rót margliðu með heiltalnastuðla, og við segjum að rauntala sé torræð ef hún er ekki algebruleg. Allar ræðu tölurnar eru algebrulegar, og rótin af 2 er algebruleg, en pí og e eru torræðar.

Hægt er að finna enn almennari tegundir talna sem rauntölurnar eru hlutmengi í, svo sem tvinntölurnar, varplínuna eða ofurrauntölurnar. Hins vegar tapast mismunandi eiginleikar rauntalnanna við þessar útvíkkanir; það er ekki til eðlileg röðun á tvinntölunum, og meðal ofurrauntalnanna er að finna óendanlega stórar tölur. Tvinntölurnar eru þó mikið notaðar í eðlis- og stærðfræði vegna þess að ýmsir útreikningar og útleiðslur verða einfaldari þegar þeim er beitt en ella.

Tengt efni á Vísindavefum:

Heimildir og myndir:

Aðrir spyrjendur voru:

Engilbert Svavarsson, Guðrún Helgadóttir, Gunnar Ásgeirsson, Halla Káradóttir, Kristrún Sigurðardóttir, Svanlaug Einarsdóttir, Sóley Jóhannesdóttir.

Höfundur

Gunnar Þór Magnússon

Gunnar Þór Magnússon

stærðfræðingur

Útgáfudagur

14.11.2008

Spyrjandi

Davíð Andrésson og fleiri spyrjendur

Efnisorð

Tilvísun

Gunnar Þór Magnússon. „Hvað eru rauntölur?“ Vísindavefurinn, 14. nóvember 2008, sótt 21. nóvember 2024, https://visindavefur.is/svar.php?id=50070.

Gunnar Þór Magnússon. (2008, 14. nóvember). Hvað eru rauntölur? Vísindavefurinn. https://visindavefur.is/svar.php?id=50070

Gunnar Þór Magnússon. „Hvað eru rauntölur?“ Vísindavefurinn. 14. nóv. 2008. Vefsíða. 21. nóv. 2024. <https://visindavefur.is/svar.php?id=50070>.

Chicago | APA | MLA

Þessi síða notar vafrakökur Nánari upplýsingar

Ég samþykki

Senda grein til vinar

=

Hvað eru rauntölur?
Við höfum áður fjallað nokkuð um tölur á Vísindavefnum og bendum lesendum á að kynna sér sérstaklega svör við spurningunum Hvað eru náttúrlegar tölur? og Hvað eru heilar og ræðar tölur?

Allt frá tímum Forngrikkja þekktu menn að þó ræðu tölurnar dugi til flestra verka, þá eru einnig til aðrar tölur. Í kringum 500 f.Kr. uppgötvaði Hippasus frá Metapontum að kvaðratrótin af 2 er ekki ræð tala og eyðilagði hann þar með heimsmynd Pýþagórasarreglunnar sem fól í sér að allar tölur mætti tákna með ræðum tölum. Stærðfræðingar nefndu þessar nýju tölur óræðar tölur. Með tímanum uppgötvuðu menn fleiri og fleiri óræðar tölur; til dæmis er rótin af n óræð tala ef n er ekki ferningstala, og bæði tölurnar e og pí (\(\pi\)) eru óræðar. Ræðu og óræðu tölurnar eru óendanlega margar, en í vissum skilningi eru til fleiri óræðar tölur en ræðar. Óformlega má lýsa óræðu tölunum sem þeim tölum sem hafa tugabrotaframsetningu sem fylgir engu mynstri; til dæmis er engin regla á aukastöfum pí:

\(\pi\) = 3,1415926535897932384...

Þegar við bætum óræðu tölunum við mengi ræðra talna fáum við rauntölurnar, sem við táknum með R. Rauntölunum má raða eftir stærð, þær má leggja saman og margfalda, hægt er að draga þær hverja frá annarri og deila þeim hverri í aðra, og það má taka kvaðratrót af jákvæðri rauntölu; útkoman verður alltaf önnur rauntala.



Menn hugsa sér oft að rauntölurnar liggi á svokallaðri talnalínu, eins og tölurnar liggja á reiknistokki.

Einn mikilvægasti eiginleiki rauntalnanna er að ef runa þeirra hefur markgildi, þá er markgildið rauntala. Óformlega þýðir það að ef við höfum safn af rauntölum sem fara eins nálægt gefinni tölu og við viljum, þá er sú tala rauntala. Þetta gildir ekki um ræðu tölurnar, því finna má runu þeirra sem stefnir á rótina af 2, en eins og áður kom fram er hún ekki ræð tala. Þessi eiginleiki gerir okkur kleift að stunda stærðfræðigreiningu, en hún byggir á markgildishugtakinu. Mikilvægi stærðfræðigreiningar er ein af aðalástæðunum fyrir því að við kynnum rauntölurnar til leiks.

Rauntölurnar skiptast semsagt í ræðar og óræðar tölur en þeim má einnig skipta í algebrulegar og torræðar tölur: Við segjum að rauntala sé algebruleg ef hún er rót margliðu með heiltalnastuðla, og við segjum að rauntala sé torræð ef hún er ekki algebruleg. Allar ræðu tölurnar eru algebrulegar, og rótin af 2 er algebruleg, en pí og e eru torræðar.

Hægt er að finna enn almennari tegundir talna sem rauntölurnar eru hlutmengi í, svo sem tvinntölurnar, varplínuna eða ofurrauntölurnar. Hins vegar tapast mismunandi eiginleikar rauntalnanna við þessar útvíkkanir; það er ekki til eðlileg röðun á tvinntölunum, og meðal ofurrauntalnanna er að finna óendanlega stórar tölur. Tvinntölurnar eru þó mikið notaðar í eðlis- og stærðfræði vegna þess að ýmsir útreikningar og útleiðslur verða einfaldari þegar þeim er beitt en ella.

Tengt efni á Vísindavefum:

Heimildir og myndir:

Aðrir spyrjendur voru:

Engilbert Svavarsson, Guðrún Helgadóttir, Gunnar Ásgeirsson, Halla Káradóttir, Kristrún Sigurðardóttir, Svanlaug Einarsdóttir, Sóley Jóhannesdóttir.
...