Hvað eru ferningstölur og teningstölur?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hvað eru ferningstölur og teningstölur?
Ferningstala er heiltala sem er jöfn annarri heiltölu eða sjálfri sér í öðru veldi. Með öðrum orðum er heiltala $a$ ferningstala ef skrifa má $b^2=b\cdot b=a$, þar sem $b$ er heiltala. Eins má segja að heiltala $a$ sé ferningstala ef kvaðratrótin af $a$, $\sqrt{a}$, er heiltala. Lesa má um veldi og rætur á vef íslenska stærðfræðafélagsins.

Ljóst er að talan $0$ er ferningstala því skrifa má $0^2=0$. Jafnframt er þekkt að margfeldi tveggja jákvæðra talna er jákvæð tala og hið sama gildir um margfeldi tveggja neikvæðra talna. Þegar tala önnur en $0$ er margfölduð með sjálfri sér verður útkoman því jákvæð tala. Af þessu leiðir að allar ferningstölur eru annaðhvort jákvæðar eða $0$, sem einnig má orða þannig að engin ferningstala sé neikvæð.

Fyrir jákvæða heiltölu $n$ gildir $(-n)^2=n^2$. Ef $a$ er ferningstala hefur hún þá bæði jákvæða og neikvæða rót, $\sqrt{a}$ og $-\sqrt{a}$, þannig að $(\sqrt{a})^2=a$ og $(-\sqrt{a})^2=a$.

Lægstu ferningstölurnar eru:

$0^2=0$,

$1^2=1$,

$2^2=4$,

$3^2=9$,

$4^2=16$,

$5^2=25$.

Ef $a$ er ferningstala er hægt að raða $a$ ferningum með hliðarlengdir $1$ saman þannig að þeir myndi ferning með flatarmál $a$ og hliðarlengdir $\sqrt{a}$. Hér til hliðar má sjá hvernig $25$ ferningum er raðað saman í stærri ferning með hliðarlengdina $\sqrt{25}=5$.

Teningstala er heiltala sem er jöfn annarri heiltölu eða sjálfri sér í þriðja veldi. Í öðrum orðum er heiltala $c$ teningstala ef skrifa má $d^3=d\cdot d\cdot d=c$, þar sem $d$ er heiltala. Eins má segja að heiltala $c$ sé teningstala ef þriðja rótin af $c$, $\sqrt[3]{c}$, er heiltala.

Þar sem þriðja veldi af jákvæðri tölu er jákvæð tala en þriðja veldi af neikvæðri tölu er neikvæð tala eru bæði til jákvæðar og neikvæðar teningstölur, ólíkt ferningstölum. Fyrir jákvæða heiltölu $n$ gildir $(-n)^3=-(n^3)$.

Til dæmis eru $8$ og $-27$ teningstölur þar sem $2^3=2\cdot 2\cdot 2=4\cdot 2=8$ og $(-3)^3=(-3)\cdot(-3)\cdot(-3)=9\cdot(-3)=-27$.

Ef jákvæð heiltala $n$ er teningstala má raða $n$ teningum með hliðarlengdir $1$ saman þannig að þeir myndi tening með rúmmál $n$ og hliðarlengdir $\sqrt[3]{n}$. Í venjulegum Rubiks-teningi er til dæmis 27 litlum teningum raðað saman í einn stærri.

Heimildir og frekari fróðleikur:

• Wikipedia - square number.
• Wikipedia - cube (algebra)

Myndir:

• The full wiki - primary mathematics. Mynd af ferningi. Sótt 18. 7. 2011.
• rubiks.com. Mynd af Rubiks-teningi. Sótt 28. 6. 2011.

...