Er hægt að sanna að mengi rauntalna, R, taki enda?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Er hægt að sanna að mengi rauntalna, R, taki enda?
Svarið er nei; fullyrðingin er röng og því ekki von að hægt sé að sanna hana.

Rauntölur eru allar þær tölur sem unnt er að skrifa sem óendanlega summu eða til dæmis sem óendanlegt tugabrot. Þar á meðal eru tölur sem hægt er að skrifa sem endanlega summu því að við getum alltaf bætt núllum við slíka summu til að gera hana óendanlega.

Mengi svokallaðra náttúrlegra talna er táknað með $\mathbb{N}$. Í því eru tölurnar 1, 2, 3, ..., það er að segja allar heilar plústölur. Þetta mengi er hlutmengi í $\mathbb{R}$ sem þýðir að allar náttúrlegar tölur eru líka rauntölur. Í mengi heilla talna, $\mathbb{Z}$, eru bæði náttúrlegar tölur, 0 og heilar mínustölur eins og talan -2. Mengið $\mathbb{Z}$ er líka hlutmengi í $\mathbb{R}$ og sömuleiðis mengið af ræðum tölum, $\mathbb{Q}$, en í því eru allar tölur sem hægt er að skrifa sem brot, það er að segja sem heila tölu deilt með annarri heilli tölu. Auk ræðu talnanna teljast svokallaðar óræðar tölur til rauntalna, en dæmi um óræðar tölur eru ferningsrótin af 2 ($\sqrt{2}$)og talan $\pi$ (pí) sem fjallað er um í svari Hrannars Baldurssonar og Þorsteins Vilhjálmssonar hér á Vísindavefnum við spurningunni Hvað hefur talan pí marga aukastafi og hverjir eru þeir?

Auðvelt er að sýna fram á að mengið $\mathbb{N}$ er óendanlega stórt. Fyrir hverja náttúrlega tölu $n$ getum við alltaf fundið tölu sem er stærri, nefnilega töluna $n+1$. Röðin rofnar aldrei eða stöðvast og því eru stökin í menginu $\mathbb{N}$ óendanlega mörg.

Af þessu leiðir að mengi rauntalna $\mathbb{R}$ er líka óendanlegt og tekur aldrei enda.

Mengi rauntalna er aukinheldur ekki teljanlegt. Það merkir að ekki er til gagntæk vörpun milli rauntalnamengisins og mengi náttúrlegra talna sem áður var getið. Með öðrum orðum er ekki hægt að búa til talnapör þar sem náttúrleg tala er í fyrra sætinu en rauntala í því seinna og hver tala kemur aðeins fyrir einu sinni. Þó að rauntölur séu í röð innbyrðis, þannig að ein tala sé alltaf annaðhvort stærri eða minni en önnur, þá er ekki hægt að skrifa þær upp í skipulegri röð eða gefa forskrift fyrir því.

Með þessum texta er í raun einnig svarað spurningu Sigurðar Sigurðssonar, „Hver er stærsta tala sem til er?“ Af því sem hér hefur verið sagt er nefnilega ljóst að ekki er hægt að tiltaka neina tölu sem væri stærst allra talna. Ef einhver reyndi það gæti annar komið og bætt til dæmis einum við fyrri töluna og þar með væri komin enn stærri tala!

...