Senda inn spurningu
Sólin Sólin Rís 05:26 • sest 21:28 í Reykjavík
Tunglið Tunglið Rís 21:24 • Sest 05:22 í Reykjavík
Flóð Flóð Árdegis: 06:10 • Síðdegis: 18:30 í Reykjavík
Fjaran Fjara Árdegis: 00:11 • Síðdegis: 12:20 í Reykjavík
Visit the English version

Flokkun:

Náttúruvísindi og verkfræði Stærðfræði

Er hægt að sanna að mengi rauntalna, R, taki enda?

Ritstjórn Vísindavefsins

Svarið er nei; fullyrðingin er röng og því ekki von að hægt sé að sanna hana.

Rauntölur eru allar þær tölur sem unnt er að skrifa sem óendanlega summu eða til dæmis sem óendanlegt tugabrot. Þar á meðal eru tölur sem hægt er að skrifa sem endanlega summu því að við getum alltaf bætt núllum við slíka summu til að gera hana óendanlega.

Mengi svokallaðra náttúrlegra talna er táknað með $\mathbb{N}$. Í því eru tölurnar 1, 2, 3, ..., það er að segja allar heilar plústölur. Þetta mengi er hlutmengi í $\mathbb{R}$ sem þýðir að allar náttúrlegar tölur eru líka rauntölur. Í mengi heilla talna, $\mathbb{Z}$, eru bæði náttúrlegar tölur, 0 og heilar mínustölur eins og talan -2. Mengið $\mathbb{Z}$ er líka hlutmengi í $\mathbb{R}$ og sömuleiðis mengið af ræðum tölum, $\mathbb{Q}$, en í því eru allar tölur sem hægt er að skrifa sem brot, það er að segja sem heila tölu deilt með annarri heilli tölu. Auk ræðu talnanna teljast svokallaðar óræðar tölur til rauntalna, en dæmi um óræðar tölur eru ferningsrótin af 2 ($\sqrt{2}$)og talan $\pi$ (pí) sem fjallað er um í svari Hrannars Baldurssonar og Þorsteins Vilhjálmssonar hér á Vísindavefnum við spurningunni Hvað hefur talan pí marga aukastafi og hverjir eru þeir?

Auðvelt er að sýna fram á að mengið $\mathbb{N}$ er óendanlega stórt. Fyrir hverja náttúrlega tölu $n$ getum við alltaf fundið tölu sem er stærri, nefnilega töluna $n+1$. Röðin rofnar aldrei eða stöðvast og því eru stökin í menginu $\mathbb{N}$ óendanlega mörg.

Af þessu leiðir að mengi rauntalna $\mathbb{R}$ er líka óendanlegt og tekur aldrei enda.

Mengi rauntalna er aukinheldur ekki teljanlegt. Það merkir að ekki er til gagntæk vörpun milli rauntalnamengisins og mengi náttúrlegra talna sem áður var getið. Með öðrum orðum er ekki hægt að búa til talnapör þar sem náttúrleg tala er í fyrra sætinu en rauntala í því seinna og hver tala kemur aðeins fyrir einu sinni. Þó að rauntölur séu í röð innbyrðis, þannig að ein tala sé alltaf annaðhvort stærri eða minni en önnur, þá er ekki hægt að skrifa þær upp í skipulegri röð eða gefa forskrift fyrir því.

Með þessum texta er í raun einnig svarað spurningu Sigurðar Sigurðssonar, „Hver er stærsta tala sem til er?“ Af því sem hér hefur verið sagt er nefnilega ljóst að ekki er hægt að tiltaka neina tölu sem væri stærst allra talna. Ef einhver reyndi það gæti annar komið og bætt til dæmis einum við fyrri töluna og þar með væri komin enn stærri tala!

Höfundur

Ritstjórn Vísindavefsins

Ritstjórn Vísindavefsins

Útgáfudagur

4.11.2000

Spyrjandi

Þorvaldur S. Björnsson, f. 1983;
Sigurður Sigurðsson, f. 1984

Efnisorð

Tilvísun

Ritstjórn Vísindavefsins. „Er hægt að sanna að mengi rauntalna, R, taki enda?“ Vísindavefurinn, 4. nóvember 2000. Sótt 23. apríl 2024. http://visindavefur.is/svar.php?id=1087.

Ritstjórn Vísindavefsins. (2000, 4. nóvember). Er hægt að sanna að mengi rauntalna, R, taki enda? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=1087

Ritstjórn Vísindavefsins. „Er hægt að sanna að mengi rauntalna, R, taki enda?“ Vísindavefurinn. 4. nóv. 2000. Vefsíða. 23. apr. 2024. <http://visindavefur.is/svar.php?id=1087>.

Chicago | APA | MLA

Tengd svör

Þessi síða notar vafrakökur Nánari upplýsingar

Ég samþykki
Spyrja

Sendu inn spurningu LeiðbeiningarTil baka

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=

Senda grein til vinar

=

Er hægt að sanna að mengi rauntalna, R, taki enda?
Svarið er nei; fullyrðingin er röng og því ekki von að hægt sé að sanna hana.

Rauntölur eru allar þær tölur sem unnt er að skrifa sem óendanlega summu eða til dæmis sem óendanlegt tugabrot. Þar á meðal eru tölur sem hægt er að skrifa sem endanlega summu því að við getum alltaf bætt núllum við slíka summu til að gera hana óendanlega.

Mengi svokallaðra náttúrlegra talna er táknað með $\mathbb{N}$. Í því eru tölurnar 1, 2, 3, ..., það er að segja allar heilar plústölur. Þetta mengi er hlutmengi í $\mathbb{R}$ sem þýðir að allar náttúrlegar tölur eru líka rauntölur. Í mengi heilla talna, $\mathbb{Z}$, eru bæði náttúrlegar tölur, 0 og heilar mínustölur eins og talan -2. Mengið $\mathbb{Z}$ er líka hlutmengi í $\mathbb{R}$ og sömuleiðis mengið af ræðum tölum, $\mathbb{Q}$, en í því eru allar tölur sem hægt er að skrifa sem brot, það er að segja sem heila tölu deilt með annarri heilli tölu. Auk ræðu talnanna teljast svokallaðar óræðar tölur til rauntalna, en dæmi um óræðar tölur eru ferningsrótin af 2 ($\sqrt{2}$)og talan $\pi$ (pí) sem fjallað er um í svari Hrannars Baldurssonar og Þorsteins Vilhjálmssonar hér á Vísindavefnum við spurningunni Hvað hefur talan pí marga aukastafi og hverjir eru þeir?

Auðvelt er að sýna fram á að mengið $\mathbb{N}$ er óendanlega stórt. Fyrir hverja náttúrlega tölu $n$ getum við alltaf fundið tölu sem er stærri, nefnilega töluna $n+1$. Röðin rofnar aldrei eða stöðvast og því eru stökin í menginu $\mathbb{N}$ óendanlega mörg.

Af þessu leiðir að mengi rauntalna $\mathbb{R}$ er líka óendanlegt og tekur aldrei enda.

Mengi rauntalna er aukinheldur ekki teljanlegt. Það merkir að ekki er til gagntæk vörpun milli rauntalnamengisins og mengi náttúrlegra talna sem áður var getið. Með öðrum orðum er ekki hægt að búa til talnapör þar sem náttúrleg tala er í fyrra sætinu en rauntala í því seinna og hver tala kemur aðeins fyrir einu sinni. Þó að rauntölur séu í röð innbyrðis, þannig að ein tala sé alltaf annaðhvort stærri eða minni en önnur, þá er ekki hægt að skrifa þær upp í skipulegri röð eða gefa forskrift fyrir því.

Með þessum texta er í raun einnig svarað spurningu Sigurðar Sigurðssonar, „Hver er stærsta tala sem til er?“ Af því sem hér hefur verið sagt er nefnilega ljóst að ekki er hægt að tiltaka neina tölu sem væri stærst allra talna. Ef einhver reyndi það gæti annar komið og bætt til dæmis einum við fyrri töluna og þar með væri komin enn stærri tala!

...