Er hægt að teikna 19-hyrning með allar hliðar jafnlangar? Ef það er hægt, hvernig þá?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Er hægt að teikna 19-hyrning með allar hliðar jafnlangar? Ef það er hægt, hvernig þá?

Hér að ofan má sjá mynd af 19-hyrningi sem hefur allar hliðar jafnlangar. Hann er teiknaður með því að búa til 19 jafnlöng strik og hafa jafnstórt horn milli hverra tveggja aðliggjandi strika.

Engu máli skiptir hve margar hliðarnar (eða hornin) eru; það er alltaf hægt að teikna marghyrning sem hefur allar hliðar jafnlangar. Hornasumma marghyrnings þar sem fjöldi hliða er $n$, reiknuð í gráðum, er:

$$180\cdot n-360$$

Hornasumma 19-hyrnings er því $180^{\circ}\cdot19-360^{\circ}=3060^{\circ}$. Hornin milli aðliggjandi hliða eru ${\frac{3060}{19}}^{\circ}$ eða $161 {\frac{1}{19}}^{\circ}$.

Hins vegar eru 19-hyrningar ekki meðal þeirra forma sem hægt er að teikna með einföldustu hjálpartækjum. Komið hefur fram hér á Vísindavefnum að stærðfræðingar veltu því fyrir sér í meira en tvö þúsund ár hvernig hægt væri að teikna hin ýmsu form með hringfara og reglustiku eingöngu. Aðferðir til að búa til reglulega þríhyrninga og fimmhyrninga með þessum tækjum hafa lengi verið þekktar og árið 1796 sýndi hinn merki stærðfræðingur Carl Friedrich Gauss fram á að reglulegan 17-hyrning má teikna með hrigfara og reglustiku. Árið 1801 afgreiddi Gauss spurninguna um teiknanleika $n$-hyrninga endanlega með því að sýna að hægt sé að teikna reglulegan $n$-hyrning með hringfara og reglustiku ef og aðeins ef $n$ er á forminu

$$n=2^k\cdot p_1\cdot p_2\cdot...\cdot p_i$$

þar sem $k$ er heiltala og $p_1$, $p_2$, ... og $p_i$ eru ólíkar prímtölur sem skrifa má á forminu $2^{2^m}+1$, þar sem $m$ er einhver heltala stærri en eða jöfn 0. Þessar tölur eru svo kallaðar Fermat-prímtölur og til þessa dags eru einungis fimm þekktar: 3, 5, 17, 257 og 65537.

Af þessu sést meðal annars að ekki er hægt að teikna reglulegan 19-hyrning með hringfara og reglustiku. Þess má að lokum geta að þeir $n$-hyrningar með $n$ 20 eða minna sem teikna má með títtnefndum verkfærum eru 3-, 4-, 5-, 6-, 8-, 10-, 12-, 15-, 16-, 17- og 20-hyrningur. Þetta er ekki hægt ef $n$ er 7, 9, 11, 13, 14, 18 eða 19.

Mynd:

• Wikipedia. Sótt 8. 7. 2011.

...