Hvað er evklíðsk rúmfræði?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hvað er evklíðsk rúmfræði?

Mannfólkið hefur haft þörf fyrir stærðfræði frá því fyrstu skipulögðu samfélögin tóku að myndast. Hve miklar eignir á einstaklingur? Hversu mikinn skatt á hann að greiða? Slíkar spurningar fela í sér reikning. Hversu stór er landareign? Hvernig skal skipuleggja gatnakerfi borgar? Hvernig skal hanna byggingu? En byggja hana? Hvernig er gangur sólar á einu ári? Þessar spurningar fela í sér rúmfræði. Reyndar er orðið sem flest tungumál nota yfir rúmfræði fengið af gríska orðinu yfir landmælingar.

Smiðir og arkitektar þurftu hagnýtar aðferðir til þess að mæla flatarmál og til að mynda rétt horn. Afar snemma uppgötvaðist að ef maður tekur þrjá reipisbúta af lengdunum 3, 4, 5 álnir, samtengda á endunum svo lykkja myndast, er maður kominn með færanlegt tól sem má henda yfir öxlina og nota svo til að mynda rétt horn á jörðinni.

Einhvern tímann virðist fólk hafa farið að velta því fyrir sér hvað væri svona sérstakt við lengdirnar 3, 4 og 5. Þá uppgötvaðist að lengdirnar 5, 12 og 13 höfðu svipaða eiginleika. Fleiri dæmi um slíkar þrenndir fundust svo. Þá var tekið eftir því að flatarmál fernings með hliðarlengdir 5 er jafnt summu flatarmáls fernings með hliðarlend 3 og fernings með hliðarlengd 4. Almenn regla var sett fram sem sagði að ef hliðarlengdir þríhyrnings væru $a$, $b$ og $c$ og $a^2+b^2=c^2$, þá er mótlægt horn hliðarinnar $c$ rétt horn. Þeir sem settu regluna fram höfðu þó enga þekkingu á algebru, svo reglan var sett fram út frá flatarmálum.

Fleiri reglur uppgötvuðust. Babýloníumenn skiptu hring upp í 360 gráður og það leiddi til mælinga á gráðutali horna. Fundið var að summa horna í þríhyrningi virtist alltaf vera 180 gráður. Margar aðrar reglur bæði í reikningslist (en Babýloníumenn kunnu að leysa annars stigs jöfnu) og í rúmfræði voru uppgötvaðar, eflaust út frá tilraunum.

Vandinn var sá að hægt er að skoða eins marga þríhyrninga og vera skal og sýna að hornasumma þeirra allra sé 180 gráður en hvernig má vera viss um að aðrir þríhyrningar sem ekki er enn búið að skoða, til dæmis gríðarstór þríhyrningur sem myndaður er af sól, jörð, og tungli, hafi einnig hornasummuna 180 gráður? Ef til vill gilti reglan aðeins um frekar litla þríhyrninga sem hægt var að teikna í sandinn.

Talið er að Grikkir hafi verið fyrstir til að byggja stærðfræðiþekkingu á sönnunum en með því skrefi kom stærðfræðin eins og við þekkjum hana í dag fram á sjónarsviðið. Með sönnun má fullvissa sig um að einhver fullyrðing gildi fyrir alla þríhyrninga, jafnvel þá sem ekki er búið að skoða.

Um 300 f.Kr. safnaði rúmfræðingurinn Evklíð allri rúmfræðiþekkingu sem þá var til saman í verk sem kallast Frumatriðin (e. Elements) og samanstendur af 13 bókum. Hann setti þekkinguna fram á grunni sannanna og skapaði þannig stærðfræðikerfi sem stærðfræðingar notast við enn þann dag í dag.

Eftir fall Rómaveldis virðast Frumatriði Evklíðs hafa horfið úr vesturevrópskri þekkingu en þeim var haldið til haga af Aröbum og Býsansmönnum. Á tólftu öld var arabísk útgáfa þýdd yfir á latínu. Hún varð þá ein frægasta bók vestrænnar menningar og var notuð við rúmfræðikennslu barna langt fram á 19. öld. Þetta var ekki endilega jákvætt, því tryggðin við bók Evklíðs kom í veg fyrir framfarir í kennsluaðferðum. Börnin áttu til að mynda að teikna upp myndir Evklíðs með sömu bókstöfum og notast var við í bókinni.

En hvernig gat Evklíð sannað fullyrðinar sínar? Sönnun þarf að byggjast á fyrri vitneskju. Evklíð virðist hafa fundið upp hugtakið frumregla (e. axiom) eða að minnsta kosti breiddi hann hugmyndina út. Frumregla er einföld fullyrðing sem ekki er unnt að sanna en gert er ráð fyrir að sé sönn. Frumreglur þurfa að virðast liggja í augum uppi, vera svo augljóslega sannar að enginn mundi hugsa sér að halda öðru fram. Allar afleiðingar (sem kallast reglur eða setningar) fást af frumreglunum með ströngum rökleiðslum. Þessi hugmynd varð gríðarlega áhrifamikil. Í sjálfstæðisyfirlýsingu Bandaríkjanna stendur „Við teljum þessi sannindi liggja í augum uppi“ ("We hold these truths to be self-evident") en þar sést að höfundar hennar voru undir áhrifum frá Evklíð. Abraham Lincoln hafði gjarnan eintak af Frumatriðunum uppi við og las þau langt fram á nótt. Hann taldi sönnunarhugtakið sem Evklíð notaðist við vera ómetanlegt í lögfræðinámi sínu.

Frumreglur Evklíðs eru tvenns konar. Annars vegar eru rúmfræðilegar frumreglur, sem hér verða settar fram á aðeins öðruvísi formi en Evklíð notaði.

1. Sérhverja tvo punkta má tengja með beinni línu.
2. Tvær línur skerast í mesta lagi í einum punkti.
3. Sérhvert beint strik má framlengja óendanlega mikið.
4. Hægt er að teikna hring með hvaða miðpunkt og geisla (e. radius) sem vera skal.
5. Öll rétt horn eru jafn stór.
6. Ef gefin er lína og punktur sem liggur ekki á línunni er til nákvæmlega ein lína gegnum gefna punktinn sem er samsíða gefnu línunni.

Hins vegar eru rökfræðilegar frumreglur. Til þeirra teljast fullyrðingar eins og að heild sé stærri en hluti hennar. Nú má skilgreina evklíðska rúmfræði sem rúmfræðilegt kerfi sem byggist á frumreglum Evklíðs.

Stærðfræðingum hafði alltaf fundist forsendan um samsíða línur (síðasta frumreglan sem talin er upp að ofan) vera síður augljós en hinar. Margar tilraunir voru gerðar til þess að sanna hana út frá hinum frumreglunum en allar slíkar sannanir reyndust vera rangar. Meðal þeirra sem reyndu sig við sönnunin var persneska skáldið og stærðfræðingurinn Omar Khayyam (1048-1131). Að lokum datt nokkrum 19. aldar stærðfræðingum í hug að athuga hvernig rúmfræði væri ef forsendan um samsíða línur væri ekki til staðar. Til dæmis mætti gera ráð fyrir að sérhverjar tvær línur verði að skerast einhvers staðar, það er að samsíða línur séu ekki til. Einnig mætti gera ráð fyrir að það gætu verið fleiri en ein lína sem liggja um gefna punktinn og eru samsíða gefnu línunni. Þessar hugmyndir virtust báðar leiða af sér heildstæð rúmfræðikerfi, það er kerfi sem eru laus við mótsagnir. Reyndar má sanna það með því að notfæra grein stærðfræðinnar sem kallast stærðfræðileg rökfræði.

Í þessum óevklíðsku rúmfræðikerfum (e. non-Euclidean geometries), eins og þau eru kölluð, er hornasumma þríhyrnings ekki 180 gráður heldur veltur hún á flatarmáli þríhyrningsins og nálgast 180 gráður þegar flatarmálið minnkar. Hvaða rúmfræðikerfi á þá við um rúmið sem við lifum í? Það vitum við ekki en ólíklegt þykir að það sé algjörlega evklíðskt. Ágiskun höfundar er sú að ef við gætum mælt hornasummu þríhyrnings sem myndaður er af þremur fjarlægum vetrarbrautum væri hún ekki 180 gráður. Ef Einstein hefur rétt fyrir sér, sem ýmsar uppgötvanir, svo sem nýlegar fréttir um þyngdarbylgjur, styðja, þá þarf að lýsa rúmi og tíma sem fjórvíðu fyrirbæri sem er langt frá því að lúta rúmfræðireglum Evklíðs.

Nú til dags telja stærðfræðingar ekkert rúmfræðilegt kerfi lýsa raunveruleikanum fullkomlega. Í staðinn mynda þeir huglæg rúm byggð á rauntalnalínunni þar sem lýsa má frumreglum rúmfræðinnar með algebru (dálítið eins og rúmfræði í hnitakerfi). Þá má mynda tvívítt rúm (flöt eða sléttu, e. plane) þar sem frumreglur Evklíðs eru fullkomlega sannar. Þetta kallast evklíðskur flötur. Þrívíð hliðstæða hans kallast evklíðskt rúm. Rétt framsetning á setningu 32 úr 1. bók Evklíðs samkvæmt nútímavenjum er þá: Í evklíðskum fleti er hornasumma þríhyrnings 180 gráður.

Það tók tvö þúsund ár að sýna að Evklíð hafði rétt fyrir sér varðandi forsenduna um samsíða línur að því leyti að ekki er hægt að sanna hana. Hann hafði þó rangt fyrir sér þegar hann gerði ráð fyrir því (ef hann þá gerði það) að ekki sé hægt að neita henni með skynsömum hætti.

Hvernig tengist þetta þá allt saman rúmfræði eins og hún er kennd í skólum nú til dags? Börn sem eru að byrja að læra stærðfræði skilja auðvitað ekki hugtakið um sannanir eða þörfina fyrir þær. Það er reyndar eitt af því sem reynt er að kenna þeim. Evklíð gerir ráð fyrir því að ekki þurfi að útskýra þetta fyrir lesendum. Þess vegna hefur bók hans orð á sér fyrir að vera afar þung. Og þess vegna er hún ekki lengur notuð við rúmfræðikennslu. Í stað þess að notast við frumreglur Evklíðs biðjum við byrjendur að samþykkja nokkrar forsendur sem eru auðtrúanlegar, svo sem að víxlhorn séu jafnstór eða að tveir þríhyrningar með sömu hliðarlengdir séu aljafnir. En rúmfræðin sem er kennd er að sjálfsögðu ennþá evklíðsk rúmfræði.

Frekara lesefni:

• Euclid - Wikipedia, the free encyclopedia. (Skoðað 14.05.14).
• Euclidean geometry - Wikipedia, the free encyclopedia. (Skoðað 14.05.2014).
• Stewart, Ian. 1995. Concepts of modern mathematics. Dover, New York. Athugasemd. Í bókinni er hægt að finna góðan kafla um frumsendur. (e. axiomatics).
• Northrop, Eugene P. 1980. Riddles in mathematics: a book of paradoxes. Penguine, Harmondsworth. Í bókinni er reynt að sanna forsenduna um samsíða línur. (e. the parallel postulate).

Myndir:

• Samsetta myndin er úr safni höfundar.
• The Project Gutenberg eBook of De Re Metallica, by Georgius Agricola. (Sótt 12.05.2014).

...