Hvað er flatarmál?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hvað er flatarmál?
Þetta er góð spurning og við henni má finna mörg misflókin svör.

Það er sameiginlegt með mörgum hugtökum stærðfræðinnar að eiga rætur að rekja til óformlegra, hagnýtra hugmynda en miklu síðar vera gefin formlegri, stærðfræðileg merking. Til dæmis má auðveldlega útskýra hugmyndina um jákvæðar heiltölur fyrir leikskólabarni svo gagn sé að með vísan í fingur eða kexkökur. Á hinn bóginn hefur spurningin um hvað tala væri reynst efni mikilla vangaveltna, skrifa og deilna stærðfræðinga, sem trúlega náðu hámarki um og upp úr aldamótunum 1900.

Hvað snertir rætur flatarmáls í raunveruleikanum gæti verið gagnlegt að líta á gríska rót orðsins yfir rúmfræði á mörgum erlendum málum: „Geometria,“ „jarðmæling.“ Líkt og nú var landrými við upphaf sögulegs tíma meðal allra mikilvægustu verðmæta, undirstaða allrar fæðuframleiðslu og því forsenda jafnt lífs og munaðar.

Gerum okkur í hugarlund að bónda bjóðist að kaupa tvo áþekka landskika fyrir sama verð. Annar er þríhyrningslaga, með hliðar 400, 500 og 600 metra. Hinn er rétthyrningslaga, með hliðar 300 metra og 400 metra. Það má virðast augljóst að því stærri sem skikinn er því betri er uppskeran, maturinn meiri og framtíðin öruggari. Á fornum tímum hefur þó tæplega legið jafnljóst fyrir hvernig ætti að meta stærð skikanna. Þar birtist hugmyndin um flatarmál.

Formlega er flatarmál sértilvik svokallaðra „mála“ (e. measure). Nánar tiltekið er það mál á tvívíðu rúmi eða tvívíðri víðáttu. Önnur dæmi um mál eru lengdir (einvíðar) og rúmmál (þrívíð). Til slíkra mála gerum við nokkrar kröfur:

• Mál einhvers svæðis er í minnsta lagi 0.
• „Ekkert svæði“ (tóma mengið) hefur málið 0. (Þetta þýðir ekki að ekki er til svæði sem hefur 0 að máli, heldur þvert á móti að svæðið sem inniheldur engan flöt hefur málið 0.)
• Mál leggjast saman: Ef svæði er skipt upp í einhver hlutsvæði þannig að þau megi útlista (slík skipting nefnist teljanleg) er summan af málum hlutsvæðanna jöfn heildarmáli svæðisins.

Auk þess má gefa sér að hefðbundið flatarmál rétthyrnings í venjulegu, sléttu rúmi (evklíðsku rúmi) sé jafnt margfeldi af lengdum tveggja samlægra hliða og að tvær eins myndir hafi sama flatarmálið.

Svo lengi sem hliðarlengdir má finna nægir þetta til að mæla flatarmyndir af ýmsu tagi. Til dæmis má taka þríhyrning og fella um hann rétthyrning á þann hátt sem sést hér á mynd.

Þá má draga eitt lóðrétt strik og fá aðra mynd:

Á þessari mynd sést greinilega að skipta má rétthyrningnum í fjóra hluta þar sem tveir og tveir eru eins og þríhyrningurinn er ljóslega hálfur rétthyrningurinn að flatarmáli. Þannig fæst formúla sem margir kannast við úr barnaskóla: Flatarmál þríhyrnings er hálf lengd grunnlínunnar margfölduð með hæð hans. Fjölyrða mætti um fræðilegar forsendur þessarar niðurstöðu en það verður hér látið vera.

Þetta nægir í raun til þess að meta flatarmál allra mynda sem settar eru saman úr beinum strikum, það er flatarmál marghyrninga, með því einu að skipta þeim upp í marga þríhyrninga:

Í raunveruleikanum er þó sjaldnast við fullkomna marghyrninga að eiga en eins og flatarmyndir birtast okkur í daglegu lífi má þó alltaf „flísaleggja“ slíkar myndir með eins mikilli nákvæmni og henta þykir. Ef meta á nákvæmni í slíkum nálgunum má svo framkvæma tvær flísalagningar þannig að önnur nái utan um myndina en hin falli inn í hana. Þá má áætla neðri jafnt sem efri mörk flatarmálsins.

Þá má líka skoða hvað gerist eftir því sem flísunum fjölgar og nákvæmni er aukin út í hið óendanlega. Þetta nefnist heildun (eða tegrun, e. integration) og er lykilþáttur á því sviði stærðfræðinnar er nefnist stærðfræðigreining (e. calculus, mathematical analysis). Með heildun má staðfesta nákvæmar og oft ánægjulega einfaldar niðurstöður um flatarmál hluta, svo sem flatarmál hrings og yfirborðsflatarmál kúlu. Heildun fæst einnig við rúmmál og önnur mál sem koma við sögu í æðri víddum.

Í þrívíðu rúmi (eða rúmi af enn æðri vídd) þarf að velja einhvern flöt (tvívíða víðáttu) í því rúmi svo mæla megi flatarmál. Skilgreining slíks flatar er háð því hvernig hann lítur út í ákaflega náinni grennd og flatarmál hans að jafnaði skilgreint á svipuðum forsendum. Þannig fæst vel áætlað flatarmál jarðskika sem er miklu minni að breidd og lengd en radíus jarðar með sömu reiknireglum og notaðar eru í sléttu rúmi. Þegar skikarnir stækka má nota svipaða flísalagningu og áður var nefnd og til að ná fræðilegri nákvæmni er aftur notast við heildun.

Nokkuð flókið er að vísu að ákvarða merkingu flatarmáls í raunveruleikanum. Ef skoðaður er veggflötur sem mældur er 10 fermetrar má stöðugt skoða nær fletinum og sjá að í honum eru miklar ójöfnur. Slíkar ójöfnur hefðu ekki mikil áhrif á rúmmál hluta en ef tekið er tillit til þeirra má fá flatarmál sem er margfalt það flatarmál sem áður var áætlað. Ef skoðaðar eru minnstu efniseiningar veggjarins leysist hugmyndin um flatarmál hans upp; eftir því sem eðlisfræði kemst næst hafa slíkar eindir hvorki raunverulegt rúmmál né yfirborð. Rúmmál þeirra skilgreinist aðeins af stærð kraftsviða sem þeim tengjast (rafkraftar en líka víxlverkunarkraftar og þyngdarkraftar).

Oft er gagnlegt að tala um flatarmál sem ekki er bundið neinum sérstökum hlut. Til dæmis má hugsa sér flöt sem umlykur jörðina. Þetta auðveldar okkur að beita svokölluðu lögmáli Gauss um hvernig kraftsvið verka. Ef flöturinn er yfirborð kúlu er yfirborð hans $4\pi r^2$ þar sem $r$ er radíus kúlunnar. Þannig má færa fyrir því rök að þyngdarkraftur milli jarðar og geimfars deilist á því stærra yfirborð eftir því sem geimfarið fer lengra frá; nánar tiltekið minnkar þyngdarkrafturinn í hlutfalli við $\frac{1}{r^2}$.

Myndir:

• EAH.

...