Hvað er algebra og til hvers er hún kennd í skólum?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hvað er algebra og til hvers er hún kennd í skólum?

Vignir Már Lýðsson spurði: "Hvað er algebra? Getið þið gefið mér dæmi?" Halldór Berg Harðarson spurði: "Hver er tilgangurinn með því að kenna algebru í grunnskóla?"

Í venjulegum reikningi, til dæmis þegar verð einstakra hluta í innkaupakerru eru lögð saman til að finna út heildarverðið, er unnið með tölur. Hver vara hefur sitt verð og það er ákveðin tala sem við getum oftast lesið af umbúðunum eða hillunni. Í algebru eða bókstafareikningi felst hins vegar sú hugmynd að ekki þurfi alltaf að reikna með einhverjum tilteknum tölum, heldur sé líka hægt að fá gagnlegar upplýsingar með því að skoða tölur almennt. Þá gengur ekki lengur að nota tölustafi til að tákna tölurnar heldur verður að grípa til annarra tákna, oftast bókstafa.

Þeir sem leika sér dáldið með blað og blýant eða reiknivél geta farið að taka eftir ákveðnum mynstrum, til dæmis:$$2 + 2 + 2 = 3\cdot 2$$ $$4 + 4 + 4 = 3\cdot 4$$ $$9 + 9 + 9 = 3\cdot 9$$ Þessa reglu er þægilegt að skrifa með því að nota bókstafi: $$a+a+a=3\cdot a$$Formið er nákvæmlega hið sama nema hvað í stað hinna tilteknu tölustafa, $2$, $4$ og $9$ kemur almennt tákn, $a$. Galdurinn er hins vegar sá að við lesum þessa jöfnu þannig að nú getur $a$ staðið fyrir hvaða tölu sem er og jafnan lýsir almennum sannindum um tölur. Til dæmis ef við setjum $7$ í stað $a$ kemur fram jafnan$$7 + 7 + 7 = 3\cdot7$$og þetta er alveg rétt vegna þess að$$7 + 7 + 7 = 21\text{ og }3\cdot7 = 21$$Reglur úr algebru er stundum hægt að notfæra sér til að flýta útreikningum. Hugsum okkur til dæmis að við viljum reikna út $21\cdot 19$. Þetta er auðvitað hægt að gera með venjulegum aðferðum en það tekur nokkurn tíma og þarf helst að gera með blaði og blýanti eða vasareikni. Hins vegar má taka eftir því að $21 = 20 + 1$ og að $19 = 20 - 1$. Því er $21\cdot19 = (20 + 1)\cdot(20 - 1)$. Nú er hægt að grípa til reglu úr algebru sem segir að$$(a+b)\cdot(a-b)=(a\cdot a)-(b\cdot b)$$þar sem $a$ og $b$ geta staðið fyrir hvaða tölur sem er. Ef við látum $a$ vera $20$ og $b$ vera $1$ fæst að$$21\cdot19 = (20 + 1)\cdot(20 - 1) = 20\cdot20 - 1\cdot1 = 400 - 1 = 399$$Þeir sem hafa lært algebruna sína þokkalega vel og kunna til verka geta reiknað svona lagað út í huganum.

Algebra kemur einnig mjög oft að notum við dæmareikning, einkum þegar finna þarf óþekkta stærð sem við höfum óbeinar upplýsingar um. Jón og Gunna ætla að kaupa bolta saman. Gunna á tvöfalt fleiri krónur en Jón og samtals eiga þau nákvæmlega fyrir boltanum sem kostar $540$ krónur. Hvað átti hvort þeirra mikinn pening áður en þau keyptu boltann? Þetta má leysa með því að nota algebru. Segjum að Jón eigi $x$ krónur fyrir. Þá á Gunna $2\cdot x$ krónur fyrir og samtals eiga þau $540$ krónur svo að $x + 2\cdot x = 540$. En $x + 2\cdot x = 3\cdot x$ svo að $3\cdot x= 540$ og $x= 180$ krónur. Því átti Jón fyrir $180$ krónur og Gunna $360$ krónur. Í þessu dæmi var nauðsynlegt að nota bókstaf til að tákna peningaeign Jóns; ekki var hægt að nota tölur einfaldlega vegna þess að talan var óþekkt, dæmið gekk út á að finna hana.

Annað dæmi um algebru er eftirfarandi. Ég hugsa mér tölu, tvöfalda hana, legg síðan tíu við það sem ég fæ og deili loks með fimm. Þá fæ ég út fjóra. Hver er talan sem ég hugsaði upphaflega? Til að leysa þetta dæmi köllum við töluna sem ég hugsaði fyrst einhverju nafni, til dæmis $x$. Þegar ég tvöfalda hana fæ ég $2\cdot x$. Svo legg ég $10$ við og fæ þá $2\cdot10$. Loks deili ég með $5$ og fæ $\frac{2\cdot x+ 10}{5}$. Það er gefið að þessi tala er $4$ svo við fáum jöfnuna$$\frac{2\cdot x + 10}{5}= 4$$Hún gefur okkur síðan að $2\cdot x+ 10 = 20$ og þá fáum við að $2\cdot x = 10$ og loks að $x= 5$. Þar með vitum við að talan sem ég hugsaði mér upphaflega var $5$.

Algebra myndar undirstöður undir alla þá stærðfræði sem kennd er í menntaskóla og háskóla. Allur dæmareikningur í raungreinum byggir á notkun algebru. Því er góð færni í algebru nauðsynleg til að geta stundað nám í þessum greinum og notað þær síðan í starfi. Því fyrr sem byrjað er að kenna algebru þeim mun leiknari verða menn í henni og þeim mun auðveldara reynist þeim að leysa þau dæmi sem koma upp.

Við sáum áðan dæmi þess að algebra er notuð til að lýsa almennum sannindum í stærðfræði. Sum þessara sanninda eru tiltölulega augljós, eins og til dæmis jafnan$$x+x+x = 3\cdot x$$en önnur liggja síður í augum uppi, eins og jafnan $$(a+ b)\cdot(a-b) = (a\cdot a) - (b\cdot b)$$ En algebran er ekki bara notuð á þennan hátt innan stærðfræðinnar sjálfrar, heldur er hún einnig notuð sem eins konar tungumál til að tjá ýmiss konar reglur og sannindi í öðrum vísindum. Sem dæmi um þetta getum við tekið hina frægu jöfnu Einsteins$$E=mc^2$$Hér táknar bókstafurinn $E$ orku hlutar, $m$ massa hans og $c$ táknar ljóshraðann í tómarúmi. Táknið $c^2$ lýsir því að ljóshraðinn sé margfaldaður með sjálfum sér eða hafinn í annað veldi eins og sagt er. Jafnan gildir almennt fyrir alla massa, það er að segja fyrir öll hugsanleg gildi á stærðinni $m$ en ljóshraðinn $c$ er hins vegar alltaf hinn sami samkvæmt afstæðiskenningu Einsteins. Þessi eina jafna kemur í stað eftirfarandi fullyrðingar í orðum:

Heildarorka hlutar fæst með því að margfalda massann með ljóshraðanum í öðru veldi

Þessi fullyrðing er að sjálfsögðu lengri og fyrirferðarmeiri en jafnan sem er auk þess gagnsærri fyrir þá sem hafa vanist algebru. Ennfremur hefur jafnan þann ótvíræða kost að auðvelt er að tengja hana við aðrar fullyrðingar og niðurstöður sem einnig er lýst með jöfnum.

Þannig ber allt að sama brunni um það að algebra er nytsamlegt tæki eða tungumál sem kemur sér vel að kunna í ýmsum pælingum sem tengjast reikningi, stærðfræði og öðrum vísindum.

Lesa má um sögu algebrunnar í svari Kristínar Bjarnadóttur við spurningunni Hvert er upphaf algebru og hvenær barst hún til Evrópu?...