Hvað getið þið sagt mér um Jacob Bernoulli og framlag hans til stærðfræðinnar?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hvað getið þið sagt mér um Jacob Bernoulli og framlag hans til stærðfræðinnar?
Jacob Bernoulli (1655-1705) var svissneskur stærðfræðingur sem þróaði örsmæðareikning Leibniz, hnikareikning, algebru, aflfræði, raðir og líkindafræði. Hann sannaði meðal annars fyrstu meginsetningu líkindafræðinnar, lögmál mikils fjölda. Og þótt hann sé yfirleitt ekki kallaður heimspekingur þá setti hann fram nýstárlegar hugmyndir í þekkingarfræði.

Bernoulli fæddist í Basel í byrjun árs 1655 samkvæmt gregoríanska tímatalinu sem almennt var ekki innleitt í mótmælendalöndum fyrr enn 1700. Föðurfjölskyldan var af niðurlenskum uppruna, upphaflega belgísk. Faðir Jacobs erfði kryddfyrirtæki sem faðir hans hafði stofnað í Amsterdam og svo flutt til Basel á flótta undan yfirgangi Spánverja sem réðu Hollandi og ofsóttu mótmælendur. Basel var miðstöð viðskipta í Mið-Evrópu. Faðir Jacobs átti sæti í borgarráði og móðirin var af mektarmönnum úr bönkum og borgarráði. Jacob var fyrstur í röð stærðfræðinga af Bernoulli-ætt og var þeirra fremstur ásamt Johanni yngri bróður sínum (1667-1748) og Daniel syni hans (1700-1782).

Faðir Jacobs vildi að hann yrði mótmælendaprestur svo hann lærði heimspeki og guðfræði við Basel-háskóla. Hann lauk MA-prófi í heimspeki sextán ára og Licenciat-prófi í guðfræði 21 árs gamall árið 1676. Samhliða þessu stundaði hann stærðfræði gegn vilja foreldra sinna.

Að námi loknu ferðaðist hann í fjögur ár um Sviss og Frakkland og kynnti sér stærðfræði og heimspeki, meðal annars rit Descartes (1596-1650). Þegar hann kom heim til Basel árið 1686 skrifaði hann sína fyrstu vísindagrein. Hún fjallaði um Kirch-halastjörnuna og þar hélt hann því fram að halastjörnur væru varanlegir efnishlutir sem lytu sömu eðlisfræðilögmálum og aðrir slíkir. Þetta var djarflega gert því samkvæmt guðfræðikreddum þess tíma notaði guð halastjörnur til að koma skilaboðum til jarðarbúa. Í greininni fordæmdi hann einnig stjörnuspeki og kallaði stjörnuspekinga klækjarefi og svindlara.

Árið 1681 hélt hann í tveggja ára ferð til Hollands og Englands. Í Hollandi hitti hann meðal annars stærðfræðinginn Johann Hudde (1628-1704) og heimspekinginn Pierre Bayle (1647-1706). Sá síðarnefndi hafði einnig skrifað grein um Kirch-halastjörnuna (ekki undir nafni af skiljanlegum ástæðum) þar sem hann réðst gegn hindurvitnum og hélt því fram að kristni væri mannkyni ekki nauðsynleg og að guðlaust samfélag komi fyllilega til greina. Meðan Jacob var í Hollandi endurútgaf hann grein sína á latínu og gerði þar þá málamiðlun að þótt kjarni halastjarna sé varanlegt efni geti guðfræðingar haldið í halann sem tákn um reiði guðs. Í Englandi hitti hann stjarnfræðinginn John Flamsteed (1646-1719) í Greenwich, náttúruvísindamanninn Robert Boyle (1627-1691) og heimspekinginn Robert Hooke (1635-1703) og fór á fund í Konunglega félaginu.

Kirch-halastjarnan yfir Rotterdam í Hollandi árið 1680.

Þegar Jacob kom heim úr þessari ferð árið 1683 þáði hann ekki prestsembætti sem honum bauðst í Strassborg heldur hóf að kenna aflfræði við Basel-háskóla og giftist ári síðar. Árið 1687 var honum veitt staða prófessors í stærðfræði við skólann, þá 32 ára. Á þessum árum hófst samstarf hans og Johanns bróður hans sem var vel ellefu árum yngri. Faðir þeirra ætlaði Johanni að læra til læknis en meðfram því námi leiðbeindi Jacob honum í stærðfræði. Þeir voru með þeim fyrstu til að kynna sér og þróa örsmæðareikning Leibniz (1646-1716) sem leiddi meðal annars til svokallaðs hnikareiknings en hann kemur við sögu víða, meðal annars í geimferðum. Eitt af þeim verkefnum sem bræðurnir fengust við var spurningin um hvernig sú braut er sem tekur kúlu stystan tíma að rúlla eftir milli tveggja mishárra staða. Beint skábretti er ekki lausnin heldur bogi sem sveigir nokkuð niður fyrir áfangastaðinn. Samstarfið umhverfðist í skæða samkeppni þegar Johann tók að stæra sig úti í bæ af uppgötvunum sem Jacob taldi sínar. Ýmsir telja að Johann hafi verið öflugri en Jacob dýpri.

Jacob fann gildið á $e$, grunntölu náttúrlega lograns, við rannsókn á vaxtavöxtum: Þegar vextir eru 100% á ársgrundvelli og þeir eru lagðir á árlega þá vex 1 króna í $(1+1/1)^{1}=2$ á einu ári; ef þeir eru lagðir á hálfsárslega þá vex 1 króna í $(1 + 1/2)^{2}=2,25$ á einu ári; ef þeir eru lagðir á ársfjórðungslega vex ein króna í $(1 + 1/4)^{4}=2,44$ á einu ári; ef þeir eru lagðir á vikulega vex ein króna í 2,69 á einu ári; ef þeir eru lagðir á daglega vex ein króna í 2,71 á einu ári. Ef þeir væru lagðir á samfellt (á sérhverju örsmáu sekúndubroti) vex 1 króna í markgildið $e=2,7182818... $ sem er markgildi talnarununnar:$$(1+1/1)^{1}, (1+1/2)^{2}, (1+1/3)^{3}, (1+1/4)^{4}, ...$$Á árunum 1689-1704 skrifaði Jacob fimm greinar um raðir og sannaði meðal annars að markgildi raðarinnar $1+ 1/2+1/3+ 1/4+ ...$ er óendanlegt en að markgildi raðarinnar $1+1/4+1/9+1/16+ ...$ er tala sem er minni en tveir. Árið 1690 birti hann grein um jafntímaferilinn, en það er braut sem kúla rennur niður á sama tíma hvar sem hún byrjar í brautinni. Hann sýndi að ferillinn er lausn á diffurjöfnu og leysti hana. Í þessari grein var orðið integral notað í fyrsta sinn um tegur. Árið 1696 leysti Jacob diffurjöfnuna $y´=p(x)y+q(x)y^{n}$ sem kennd er við hann. Jacob fann einnig almenna aðferð til að ákvarða krappamiðjuferla, og svona mætti lengi telja.

Fljótlega eftir að Jacob kom heim úr seinni ferð sinni hóf hann að rannsaka fyrirbæri sem virðist vera eins óskylt stærðfræði og hugsanlegt er, óvissuna. Árið 1690 hafði hann lokið við að skrifa sitt mikilvægasta verk, bókina Ars Conjectandi sem kom út að honum látnum árið 1713. Hún er heilsteypt samantekt á talningar- og líkindafræði þess tíma með fjölmörgum nýjum sönnunum og niðurstöðum. Í henni sannar hann fyrstu meginsetningu líkindafræðinnar, lögmál mikils fjölda.

Lögmál mikils fjölda má orða svona: Látum $p$ vera líkurnar á því að tiltekinn atburður $A$ gerist í einni tilraun og látum $N_n$ tákna fjölda skipta sem $A$ gerist þegar tilraunin er framkvæmd í $n$ óháð skipti. Þá gildir, þegar $n$ er nógu stórt, að hlutfallslega tíðnin $N_n/n$ er nálægt $p$ með líkum sem eru næstum einn (næstum 100%). Þetta samræmist vel þeirri almennu tilfinningu (nútímafólks) að þegar krónu sé kastað oft komi framhliðin upp í um það bil helmingi kasta, og þegar teningi sé kastað oft komi fyrirfram tiltekin hlið upp í um það bil einu af hverjum sex köstum.

Og Jacob lætur sér þetta ekki nægja heldur gefur hann útreiknanleg öryggismörk þannig að óþekkta $p$-ið er innan þeirra marka með fyrirframgefnum líkum. Þessar fyrirframgefnu líkur kallast nú öryggisstig en Jacob kallaði þær „móralska vissu“, þá vissu sem athugandinn getur sætt sig við. Markmið Jacobs með bókinni Ars Conjectandi mun ekki aðeins hafa verið stærðfræðilegt heldur átti hún ekki síður að leggja grundvöll að hagnýtum ákvarðanatökum til dæmis í stjórnmálum. Í bókinni færði hann svið líkindafræðinnar út fyrir fjárhættuspil og nálgaðist líkindi sem almennt hugtak sem skipti máli á öllum sviðum tilverunnar. Jacob var þeirrar skoðunar að stríð, hungursneyð og aðrar hörmungar þess tíma stöfuðu af illa ígrundaðri ákvarðanatöku. Í stað þess að byggja ákvarðanir á kreddum og sleggjudómum taldi hann að skoða bæri aðstæður og leggja reynslumat á líkur (meðal annars með lögmáli mikils fjölda) og nota þetta mat svo til að spá fyrir um framtíðarárangur af ákvörðunum. Hann sagði jafnframt að náttúran í allri sinni fjölskrúðugu fegurð væri allt of flókin til að unnt væri að rekja öll orsakasambönd til upphafs síns − eins og margir stærðfræðilegir hugsuðir hefðu tilhneigingu til að reyna − heldur skyldi byggja ákvarðanir á reynslustuddum líkum og líkindafræði. Þetta var nýstárleg heimspekileg afstaða á þeim tímum.

Ein ástæða þess að Jacob gaf ekki út bókina strax er talin sú að hann var að leita að tölulegum gögnum til að sýna hvernig beita skyldi þessum hugmyndum, en slík gögn lágu ekki á lausu á þeim tímum. Meðal annars sendi hann Leibniz ítrekað bréf þar sem hann þrábað hann um að senda sér bók sem kom út á þeim tíma með fyrstu upplýsingum um lífslíkur. En Leibniz bar fyrir sig að hann fyndi ekki bókina og sagði líka að hún væri ósköp ómerkileg − og staðfesti kannski með því álit Jacobs á skilningsleysi stærðfræðihugsuða síns tíma á mikilvægi gagna og reynslu.

Töfraspirall myndast oft í náttúrunni. Hér sést lægð við Ísland mynda töfraspíral.

Jacob lést úr berklum árið 1705, fimmtugur að aldri. Hann mælti svo fyrir að á legstein sinn yrði sett mynd af spíral sem hann dáðist mjög að og kallaði töfraspíral. Töfraspírallinn hefur þann eiginleika að hann lítur eins út frá öllum punktum á honum ef hann er skalaður út frá fjarlægðinni frá upphafspunkti. Þessi eiginleiki er nú kallaður sjálfsvipun. Hjá spíralnum átti að rita latnesku orðin: Eadem mutata resurgo (Breyttur en þó samur rís ég á ný). Fyrir handvömm var settur svokallaður Arkímedesar-spírall á legsteininn en hann er ekki sjálfsvipaður.

Myndir:

• Wikipedia.com - Jacob Bernoulli. Sótt 13.4.2011.
• Wikipedia.com - Great Comet of 1680. Sótt 13.4.2011.
• Wikipedia.com - Ars Conjectandi. Sótt 13.4.2011.
• Wikipedia.com - Logarithmic spiral. Sótt 19.4.2011.

...