Hvað er stærðfræðitáknið e og hvaða tölu stendur það fyrir?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hvað er stærðfræðitáknið e og hvaða tölu stendur það fyrir?
Táknið $e$ stendur fyrir tölu sem byrjar svona:

$e = 2,71828182845904523536028...$

Aukastafarunan heldur áfram án nokkurrar reglu á sama hátt og aukastafir tölunnar \(\pi\) (pí). Raunar eru tölurnar \(e\) og \(\pi\) oft flokkaðar saman og taldar til torræðra (e. transcendental) talna. Tölurnar \(e\) og \(\pi\) eru óræðar eins og sumar ferningsrætur, svo sem \(\sqrt{2}\), en eru að því leyti torræðari að þær geta ekki verið lausn á "venjulegri" jöfnu (margliðujöfnu með rauntölustuðlum).

Þrátt fyrir torræðni tölunnar \(e\) má rita hana sem óendanlega runu af ræðum tölum: \[e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{1}{7!}+...\] Upphrópunarmerkið er útskýrt í þessu svari.

Talan \(e\) er grundvöllur náttúrlega lograns, sem táknaður er með \(ln\) á vasareiknum, og telst því „náttúrlegri” tala í því samhengi en til dæmis talan 10. Tíu-logrinn er táknaður með log á vasareiknum.

Hvað er þá logri? Í upphafi nýrrar lærdómsaldar í stærðfræði og stjörnufræði á 17. og 18 öld fóru menn að þurfa að reikna með mjög stórum tölum. Margföldun og deiling stórra talna er mjög tímafrek og með logrum fundu menn leið til að snúa þeim yfir í samlagningu og frádrátt. Valin var grunntala, til dæmis 10, og fundið hvaða veldi þyrfti að hefja 10 í til að fá upphaflegu töluna. Til dæmis er

2 = 10^0,3010 og 3 = 10^0,4771

Þá er talan 0,3010 tíu-logrinn af 2 og 0,4771 tíu-logrinn af 3.

Nú má reikna:

2·3 = 10^0,3010·10^0,4771 = 10^{0,3010+0,4771} = 10^0,7781 = 6

Þetta er að sjálfsögðu óþarfa fyrirhöfn við að margfalda saman 2 og 3 en sjá má í hendi sér að þessi aðferð gæti verið hentug ef margfalda þarf saman tvær fjögurra stafa tölur eða stærri. Þá má spyrja hvernig veldisvísarnir (lograrnir) voru fundnir. Þeir voru reiknaðir fyrir allmargar tölur í eitt skipti fyrir öll og gefnir út í töflum. Síðan eru ákveðnar reglur um það hvernig finna má logra annarra talna út frá logrunum í töflunni.

Það kom fljótt í ljós að talan \(e\) var á ýmsan hátt heppilegri en 10 sem grunntala logra. Það kemur til af þeim eiginleikum tölunnar \(e\) að\[1+x\approx e^{x}\] fyrir lág gildi á \(x\). Til dæmis er \[1+0,01\approx e^{0,01}\]

Talan \(e\) er því heppileg grunntala þegar reikna skal logra af mjög smáum tölum.

Táknið \(e\) fyrir þessa tölu er eignað svissneska stærðfræðingnum Euler. Euler setti fram tillögu um þessa nafngift er hann var 21 árs gamall. Hann var þá ráðinn til starfa við hirðina í St. Pétursborg og nafngiftin kemur fram í grein sem hann ritaði þar og nefndi "Hugleiðingar um tilraunir sem nýlega voru gerðar um að skjóta af fallbyssu". Talan \(e\) er oft nefnd Eulers tala en þó er ekki talið að Euler hafi nefnt hana í höfuðið á sjálfum sér heldur var \(e\) næsti sérhljóðinn á eftir \(a\) sem Euler notaði til að tákna aðrar grunntölur fyrir logra.

Töluna \(e\) má einnig telja náttúrlega á annan hátt. Meginferlum lífsins, vexti og hrörnun, verður einmitt best lýst á stærðfræðilegan hátt með svonefndum vísisföllum, það er ýmsum afbrigðum af fallinu \(y=e^{x}\). Talan \(e\) er því mikilvæg tala í vísindagreinum sem nota stærðfræðiföll eins og líkindafræði og tölfræði, líffræði og eðlisfræði, verkfræði og jafnvel hagfræði.

Til eru tvö óendanleg keðjubrot sem tákna \(e\) og eru eignuð Euler. Annað þeirra er \[e=2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{2}{3+\frac{3}{4+\frac{4}{5+\frac{5}{6+...}}}}}}\] Hitt er \[e=2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{4+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{6+...}}}}}}}}\] Ekki verður svo skilið við töluna \(e\) að ónefndar séu tvær algengar leiðir til að skilgreina hana. Sú fyrri fjallar um ferilinn \(y=1/x\). Ef flatarmálið undir þessum ferli er reiknað niður að \(x\)-ás frá \(x\) = 1 þá er spurningin hvert gildi \(x\) sé þegar flatarmálið er nákvæmlega 1. Svarið er \(e\).

Um hina leiðina er þetta að segja: Öllum má vera ljóst að það gefur meiri afrakstur að reikna 6% vexti af höfuðstól tvisvar á ári og bæta þeim jafnharðan við höfuðstólinn í stað þess að reikna 12% vexti einu sinni á ári. Enn hærri verður afraksturinn ef reiknaðir eru 4% vextir þrisvar á ári eða 3% vextir fjórum sinnum á ári. Þannig mætti stytta vaxtatímabilin og deila niður vaxtaprósentunni eins oft og óskað er. Vextirnir leggjast strax við höfuðstólinn og taka að bera vaxtavexti. En aukningin á afrakstrinum hefur takmörk. Ef 1 þúsund kr. eru ávaxtaðar með 100% ársvöxtum í óendanlega smáum vaxtatímabilum í eitt ár verður upphæðin í lok ársins \(e\) þúsund kr. Á formlegan hátt er þessi staðhæfing sett fram þannig: \[e=\lim_{n \to \infty }(1+\frac{1}{n})^{n}\] Að lokum má nefna að \(e\) er ein talan í frægri jöfnu sem sumir telja fegurstu jöfnu stærðfræðinnar. Til að skoða þá jöfnu þarf að leiða fram til sögunnar töluna i en \(i=\sqrt{-1}\)

Jafnan er \[e^{i\pi }+1=0\] Jafnan er raunar jafngild jöfnunni \(cos(\pi) =-1\) en af þessum jöfnum er önnur saga sem ekki verður rakin hér.

Heimildir:

• Constance Reid: From Zero to Infinity. The Mathematical Association of America, 1992.
• C. Stanley Ogilvy og John T. Andersen: Excursions in Number Theory. Dover Publications. 1988.
• Gunnar Erstad og Ivar Bjørnsgård: Stærðfræði 3 SN fyrir framhaldsskóla. Ísafold 1992.

...