Hvernig má réttlæta það að gefa sér frumsendur í stærðfræði, án þess að sanna þær?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hvernig má réttlæta það að gefa sér frumsendur í stærðfræði, án þess að sanna þær?
Upprunalega spurningin hljóðaði svona:

Hvernig má réttlæta það að gefa sér frumreglur í stærðfræði, án þess að sanna þær?

Sem fræðigrein er stærðfræði byggð upp þannig að nýjar niðurstöður eru leiddar út (sannaðar) á grundvelli þeirra niðurstaðna sem þegar eru komnar. Í upphafi byrjar maður því með tvær hendur tómar og án þess að gefa sér einhverjar frumreglur í upphafi kæmist maður ekkert áfram.

Slíkar frumreglur eru kallaðar frumsendur á íslensku, en í mörgum tungumálum er notað orðið axiom sem er ættað úr grísku. Sú aðferð að byggja stærðfræði upp þannig að í upphafi er settur fram listi af frumsendum sem gengið er út frá án þess að þær séu sannaðar er ættuð frá Forngrikkjum. Þekktasta og áhrifamesta dæmið um slíka uppbyggingu er að finna í rúmfræðiritum Evklíðs. Rit Evklíðs voru um aldir tekin sem fyrirmynd um nákvæma rökrétta uppbyggingu fræðigreinar.

Í orðabók frá Merriam-Webster er aðalskilgreiningin á orðinu axiom: „a rule or principle that many people accept as true.“ Í Orðabók Menningarsjóðs er orðið frumregla skilgreint sem „fullyrðing sem gengið er út frá við sannanir án þess að hún sé sönnuð sjálf“ og er sú merking sem hugtakið hefur í nútímastærðfræði.

Þegar frumsendur eru settar á blað í nútímastærðfræði er þess krafist að þær séu samkvæmar, það er leiði ekki til mótsagna, og þær séu allar nauðsynlegar í þeim skilningi að engin ein má vera afleiðing hinna. Hins vegar er ekki spurt um hvort frumsendurnar séu í einhverjum skilningi sannar með tilliti til einhvers ytri veruleika. Eingöngu er spurt hvort eitthvað áhugavert fáist þegar frumsendurnar og afleiðingar þeirra eru skoðaðar og er þá sérstaklega horft til tengsla við aðrar greinar stærðfræði og hagnýtinga stærðfræði við lausn raunhæfra verkefna.

Ef við notum rúmfræði sem dæmi þá eru í nútímastærðfræði margar ólíkar gerðir af rúmfræði, hver með sínar frumsendur. Í mörgum greinum rúmfræði eru grunnhugtökin punktur og lína. Í frumsendunum er ekki markmiðið að skilgreina hvað punktur eða línu eru í „raunveruleikanum“ heldur að setja fram reglur um tengsl þessara hugtaka. Það eina sem má svo nýta í sönnunum eru þessar frumsendur -- ekki hugmyndir okkar og skynjun á punktum og línum á blaði.

Ein grein rúmfræði er kölluð varparúmfræði (e. projective geometry). Í þeirri grein eru grunnhugtökin punktur og lína og í frumsendunum er ekkert sagt um hvað punktur er nákvæmlega og ekkert er heldur sagt um hvað lína er. Þessi hugtök má tengja með því að segja að punktur liggi á línu eða lína fari í gegnum punkt. Í varparúmfræði eru bara þrjár frumsendur:

1. Í gegnum tvo ólíka punkta liggur nákvæmlega ein lína.
2. Tvær ólíkar línur hafa nákvæmlega einn sameiginlegan punkt, það er segja til er nákvæmlega einn punktur sem liggur á báðum línunum.
3. Til eru fjórir punktar þannig að engir þrír liggi á sömu línu.

Síðasta frumsendan er höfð með til að undanskilja óáhugaverð tilvik, til dæmis þegar við höfum bara einn punkt og enga lína en þá gilda fyrri frumsendurnar tvær augljóslega. Dæmi um rúmfræðikerfi sem uppfyllir þessar frumsendur má sjá á myndinni hér fyrir neðan.

Í þessu rúmfræðikerfi eru 7 punktar sem merktir eru með tölustöfum á myndinni og sjö línur (hringurinn telst vera ein lína) og á hverri línu liggja nákvæmlega þrír punktar. Þessar frumsendur fyrir rúmfræði passa greinilega ekki við venjulegan skilning okkar á hugtakinu „lína“ en á þessum frumsendum má samt byggja mikinn fræðabálk sem tengist ýmsum öðrum greinum stærðfræði og hagnýtingum.

Eftirfarandi verkefni virðist ekki vera rúmfræðilegt:

Prófa á 7 tegundir lyfja á 7 manns. Ef við höfum tvö ólík lyf þá viljum við að einhver einn í hópnum taki bæði lyfin og ef við höfum tvo ólíka einstaklinga þá er nákvæmlega eitt lyf sem báðir taka.

Myndin sem fylgdi umfjölluninni um varparúmfræði felur í sér lausn á verkefninu því við getum hugsað hvern hinna 7 punkta sem einn af einstaklingunum og að hver lína tákni eitt af lyfjunum og það að punktur liggi á línu þýði að viðkomandi einstaklingur á að taka það lyf.

Önnur gerð rúmfræði er evklíðsk rúmfræði. Nauðsynlegt hefur reynst að betrumbæta frumsendur Evklíðs, því inn í sannanir Evklíðs hafa læðst inn ýmsar aukaforsendur sem eru ekki á frumsendulista hans. Rúmfræði Evklíðs er góð sem líkan fyrir punkta, línur og hringi á blaði. Hins vegar er rúmfræði Evklíðs ekki gott líkan af því sem gerist á kúluyfirborði, til dæmis yfirborði jarðar, og einnig hefur rúmfræði Evklíðs takmarkað gildi þegar fengist er við sveigt rúm eins og í afstæðiskenningunni. Þó rúmfræði Evklíðs henti vel til að lýsa nærumhverfi okkar í daglegu lífi þá er samt ekki rétt að segja að frumsendurnar fyrir rúmfræði Evklíðs séu réttari eða sannari en til dæmis frumsendurnar í varparúmfræði. (Sjá svar við spurningunni Hvað er rúmfræði?)

Mörg hagnýt stærðfræðileg verkefni eru rúmfræðileg í eðli sínu og önnur verkefni sem virðast fjarskyld allri rúmfræði bjóða upp á rúmfræðileg nálgun. Stærðfræðin býður upp á margar gerðir rúmfræði og hægt er að máta frumsendur hinna ólíku rúmfræðitegunda við verkefnið og velja svo þá gerð sem passar.

Mestöll nútímastærðfræði er sett fram með táknmáli mengjafræði og grundvallast á frumsendum mengjafræði og rökfræði. Val á þeim frumsendum og rökfræðilegt samhengi þeirra eru viðfangsefni heimspeki stærðfræðinnar, rökfræði og mengjafræði. Ekki hefur tekist að sanna að þær frumsendur sem venjulega eru lagðar til grundvallar mengjafræði séu án mótsagna enda hefur verið sýnt að slíkt sé ómögulegt ef eingöngu eru notaðar venjulegar frumsendur rökfræði.

Ef unnið er innan mengjafræði þá verða frumsendur í einstaka undirgreinum stærðfræði lítið annað en lýsing á eiginleikum þeirra fyrirbrigða sem fjallað er um í viðkomandi grein. Varpafrúmfræði fjallar til dæmis um mengi af stökum sem við köllum punkta og annað mengi með stökum sem við köllum línur þar sem við hugsum hverja línu sem mengi af punktum þannig að fyrir sérhverja tvo ólíka punkta er til nákvæmlega ein lína sem inniheldur báða punktana og fyrir sérhverjar tvær ólíkar línur þá hafa þær nákvæmlega einn punkt sameiginlegan.

Mynd:

• File:Fano plane with nimber labels.svg - Wikimedia Commons. (Sótt 2.02.2016).

...