Hver var María Gaetana Agnesi og hvert var framlag hennar til stærðfræðinnar?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hver var María Gaetana Agnesi og hvert var framlag hennar til stærðfræðinnar?
María Gaetana Agnesi fæddist í Mílanó þann 16. maí árið 1718, dóttir auðugra hjóna af menntamannastétt. Faðir hennar var prófessor í stærðfræði við háskólann í Bólogna. Á uppvaxtarárum Maríu stóð konum í Evrópu yfirleitt ekki menntun til boða, en á Ítalíu gegndi þó öðru máli. Þar í landi dáðu menn gáfaðar konur og þær lögðu sinn skerf til lista, læknisfræði, bókmennta og stærðfræði. Það orð fór af Maríu Agnesi að hún væri undrabarn: Hún talaði frönsku fimm ára gömul, latínu, grísku, hebresku og ýmis nútímamál þegar hún var níu ára og hafði þegar á táningsaldri náð góðum tökum á stærðfræði. Stærðfræðin varð hennar fræðigrein og talið er að þar hafi faðir hennar verið mestur áhrifavaldur. Á unglingsárum Maríu varð Agnesi-heimilið samkomustaður mestu andans manna og hún tók þátt í heimspekilegum og stærðfræðilegum rökræðum gestanna.

Um tvítugt hóf María Agnesi að vinna að sínu merkasta ritverki, Instituzioni analyticae, sem fjallar um undirstöður stærðfræðigreiningar. Undirtitill bókarinnar, ad uso della gioventu italiana, útleggst „til notkunar fyrir ítalska æsku“. Af tillitssemi við hina ítölsku æsku var bókin skrifuð á ítölsku en ekki latínu eins og venja var um fræðibækur. Sagt er að María hafi í fyrstu ætlað bókinni að verða námsefni fyrir bræður sína en bókin varð fljótt miklu meira en það. Instituzioni analyticae er í tveimur bindum sem hafa að geyma skýra samantekt á stærðfræðigreiningu, eins og hún var á dögum Maríu, en auk þess hennar eigin rannsóknir og umfjöllun um efnið. Í fyrra bindinu fjallar María um algebru, hornaföll, hnitarúmfræði og síðast en ekki síst um diffur- og tegurreikning. Í síðara bindinu fjallar hún um óendanlegar summur og diffurjöfnur. Útgáfa bókarinnar þótti stórviðburður, hún átti eftir að verða þýdd á mörg tungumál og varð vinsæl kennslubók.

María Agnesi naut viðurkenningar sem einn albesti stærðfræðingur Evrópu, fyrir skrif sín um ferla. Hún kannaði feril lografallsins og feril andhverfu þess, veldisvísisfallsins, af eftirtektarverðri nákvæmni. Skrif hennar um allt annan feril eru þó það sem hún er kunnust fyrir og ástæðan sú hve nöfn þeirra tengjast á sérkennilegan hátt. Á ítölsku heita ferlar versiera, og orðið á rætur að rekja til sagnarinnar vertere í latínu sem þýðir „að snúa“. Versiera var auk þess stytting á orðinu avversiera, „kona djöfulsins“. Ferillinn sem Agnesi kannaði var kallaður versiera Agnesi, Agnesarhaddur á íslensku, en nafnið var ranglega þýtt yfir á ensku og ferillinn kallaður Witch of Agnesi eða Agnesarnornin og með tímanum fékk María sjálf, stærðfræðingurinn, þetta viðurnefni. Ferilinn sem um getur hafði Fermat kannað á sínum tíma en María bætti um betur og gerði honum tæmandi skil. Rúmfræðilega er ferillinn myndaður á tiltekinn hátt út frá hring með gefinn geisla (radíus) og hér er því í rauninni um flokk ferla að ræða.

Myndin hér að ofan sýnir tvo ferla úr flokknum sem kallast Agnesarhaddur. Rauði haddurinn svarar til hrings með geisla 1 og blái haddurinn svarar til hrings með geisla 2. Allir ferlarnir í flokknum eru samhverfir um $y$-ás og hafa $x$-ás sem aðfellu.

Myndin hér að neðan sýnir hring og hluta af Agnesarhaddinum sem hann framleiðir (sveigði ferillinn). Til að finna punkt $P$ á ferlinum er byrjað á að festa punkt $O$ á hringnum. Því næst er dreginn miðstrengur úr $O$ og þannig fundinn punkturinn $M$ á hringnum og loks er dreginn snertill til hringsins í $M$. Þá er valinn einhver punktur $A$ á hringnum og lína dregin úr $O$ í gegnum $A$. Þar sem snertillinn og línan $OA$ skerast er punkturinn $N$. Lokaskrefið til að finna punkt $P$ á Agnesarhaddinum er að draga línu í gegnum $N$, sem er samsíða miðstrengnum $OM$, og línu í gegnum $A$ sem er samsíða snertlinum $MN$. Skurðpunktur þessara lína er $P$.

Auðvelt er að sjá fyrir sér að eftir því sem punkturinn $A$ er valinn nær $O$ mun $N$ fjarlægjast $M$ á snertlinum og samtímis mun $P$ færast eftir ferlinum í átt frá hringnum. Á hinn bóginn mun $N$ færast eftir snertlinum í átt að $M$ og $P$ færast eftir ferlinum í átt að hringnum þegar punkturinn $A$ færist eftir hringnum í átt að $M$. (Lesendum er bent á hreyfimynd á Wikipediu sem sýnir þessa teikningu.)

Agnesarhaddur er þannig upphaflega rúmfræðilegt fyrirbrigði en með því að líta á ferilinn í hnitakerfi má kanna hann með aðferðum stærðfræðigreiningar og fá um hann mun meiri upplýsingar. Þetta gerði María Agnesi og stærðfræðigreining gerði henni kleift að skoða eiginleika á borð við hágildi, samhverfu, hallatölur snertla, hegðun ferilsins þegar $x$ stefnir á óendanlegt og flatarmál svæðisins undir ferlinum (fyrir ofan $x$-ás).

Lítum á myndina hér að neðan. Búið er að leggja hnitakerfi með upphafspunkt í $O$ og $y$-ás eftir miðstrengnum $OM$. Auk þess er búið að draga strikið $AR$ samsíða $y$-ás og auðkenna hornið milli miðstrengsins $OM$ og línunnar $OA$ með $\theta$. Hnit punktsins $P$ eru $(x, y)$ svo lengd striksins $OS$ er $x$ og lengd striksins $SP$ er $y$. Sömu lengdir hafa samsíða strikin $MN$ og $RA$. Geisli hringsins er $a$.

Til að finna jöfnu ferilsins á forminu $y = f(x)$ má byrja á að finna stikaða framsetningu hans. Það felst í því að tákna $x$- og $y$-hnit punkts á ferlinum út frá sömu breytistærðinni, svokölluðum stika. Hér er það $\theta$ sem er stikinn.

Þríhyrningurinn $OMN$ er rétthyrndur með skammhliðar af lengd $2a$ og $x$. Tangens hornsins $\theta$ er hlutfall mótlægrar og aðlægrar skammhliðar, svo $\tan\theta = x/2a$ sem gefur að $x=2a\tan\theta$. Þar með höfum við táknað $x$ út frá $\theta$. Næst er að tákna $y$ út frá $\theta$. Þríhyrningurinn $OAM$ er rétthyrndur því hornið $A$ spannar miðstreng í hringnum. Langhlið þríhyrningsins er $2a$ og þá er aðlæga skammhlið hornsins $\theta$ jöfn $2a\cos\theta$. Með öðrum orðum er $OA = 2a\cos\theta$. Nú er $OA$ einnig langhlið í rétthyrnda þríhyrningnum $ORA$. Hornið $O$ í þessum þríhyrningi er $90^\circ-\theta$, og mótlæg skammhlið þess er $y$. Þá fæst að

$$y=OA\cdot\sin(90^\circ-\theta)=OA\cdot\cos\theta, $$

sem gefur að $y=2a\cos\theta \cdot \cos\theta$. Með öðrum orðum er $y=2a\cos^2\theta$. Þannig höfum við einnig táknað $y$ út frá $\theta$.

Næst er að taka hnitajöfnurnar tvær $x=2a\tan\theta$ og $y=2a\cos^2\theta$ og eyða stikanum $\theta$. Það má gera á eftirfarandi hátt með reikningum og með því að nota jöfnuna $\tan^2\theta+1=1/\cos^2\theta$: Fyrst athugum við að

$$x^2+4a^2=4a^2\tan^2\theta+4a^2=4a^2(\tan^2\theta+1)=4a^2/\cos^2\theta.$$

Næst er $y$-hnitið margfaldað með $x^2+4a^2$ og þá fæst:

$$y(x^2+4a^2)=(2a\cos^2\theta)(x^2+4a^2)=(2a\cos^2\theta)\cdot\frac{4a^2}{\cos^2\theta}=8a^3.$$

Niðurstaðan er þá sú að $y(x^2+4a^2)=8a^3$ og jafna Agnesarhaddsins sem hringur með geisla $a$ framleiðir er:

$$y=\frac{8a^3}{x^2+4a^2}.$$

Nú má vera ljóst að ferillinn er samhverfur um $y$-ás (plús og mínus $x$ gefa sama $y$-gildið) og sömuleiðis að ferillinn hefur $x$-ás sem aðfellu (hvort sem $x$-gildið stefnir á plús eða mínus óendanlega stærð þá stefnir $y$-gildið á $0$). Og nú er það leikur einn fyrir þann sem hefur vald á diffurreikningi að reikna út að hágildi ferilsins er í punktinum $(0, 2a)$ og sömuleiðis, hafi sá hinn sami vald á tegurreikningi, að finna flatarmál svæðisins sem afmarkast af ferlinum og $x$-ás. Flatarmálið er $4\pi a^2$, svo það er fjórum sinnum stærra en flatarmál hringsins sem framleiðir ferilinn. Þeir sem unna stærðfræði sjá fegurð í slíkum einfaldleika.

Þótt stærðfræðingar um gervalla Evrópu viðurkenndu hæfileika Maríu Agnesi neituðu margar fræðastofnanir, einkum og sér í lagi franska akademían, að veita henni rannsóknarstöðu. Misrétti menntastofnana gegn konum viðgekkst allt fram á tuttugustu öld. Dæmi um þetta er þegar Emmy Noether (1882-1935), kynsystur Agnesi og virtum stærðfræðisnillingi, var neitað um stöðu fyrirlesara við háskólann í Göttingen. Meirihluti kennara mælti gegn ráðningu hennar sem dósents. Þeir báru við að næst gæti hún orðið prófessor og þar með meðlimur í háskólaráði. Þessu svaraði Davíð Hilbert vinur hennar og lærimeistari þannig: „Herrar mínir, ég fæ ekki séð að kynferði umsækjanda geti verið rök gegn ráðningu hans í stöðu dósents. Það er ekki eins og háskólaráð sé baðhús.“ Allt kom fyrir ekki.

Komið hefur fram að á uppvaxtarárum Maríu Agnesi komu menntamenn gjarnan saman á heimili foreldra hennar til að rökræða heimspeki og önnur vísindi. María var feimin að eðlisfari og talið er að hún hafi aðallega tekið virkan þátt í samkomunum til að geðjast föður sínum. Hvað sem því líður, þá gaf María út safn af 190 flóknum ritgerðum árið 1738 sem byggðust á rökræðunum að heiman. Ritgerðasafnið ber titilinn Propositiones Philosophicae og í mörgum ritgerðanna gerir María grein fyrir þeirri skoðun sinni að konur eigi að njóta menntunar. Eftir dauða föður síns árið 1752 gaf María Agnesi stærðfræði upp á bátinn og helgaði líf sitt fátæku og heimilislausu veiku fólki, einkum konum. Hún varð forstöðumaður hælis sem systraregla kom á fót í Mílanó og sinnti því starfi til dauðadags. María Agnesi andaðist árið 1799.

Því verður ekki svarað hvort María Agnesi stundaði rannsóknir í stærðfræði mest til að þóknast föður sínum. Sumir hafa gert því skóna. Ekki er ólíklegt að faðirinn hafi beint undrabarninu sínu inn á svið stærðfræðinnar því þetta var hans eigið fræðasvið og stærðfræði hefur verið honum kær. Undrabarnið hefði, að því er virðist, ráðið við hvaða svið sem var.

Heimildir og frekara lesefni:

• Eves, H. (1990). An Introduction to the History of Mathematics. Philadelphia: Saunders College Publishing, 6th Ed.
• Katz, V.J. (1998). A History of Mathematics, an Introduction. New York: Addison Wesley.
• Singh, S. (2006). Síðasta setning Fermats. Reykjavík: Hið íslenska bókmenntafélag.
• Unlu, E. (1995). Biographies of Women Mathematicians. María Gaetana Agnesi. Agnes Scott College. Sótt 15. ágúst 2011 af þessari slóð.

Myndir

• Mynd af Agnesi: Wikipedia. Sótt 18. ágúst 2011.
• Forsíða fyrra bindis ritverks Agnesi: Wikipedia. Sótt 18. ágúst 2011.
• Mynd af tveimur Agnesarhöddum var teiknuð af höfundi.
• Mynd sem sýnir hvernig finna má $P$: Wikipedia. Sótt 18. ágúst 2011.
• Mynd af hnitakerfi var teiknuð af höfundi.

...