Hvert er upphaf algebru og hvenær barst hún til Evrópu?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hvert er upphaf algebru og hvenær barst hún til Evrópu?
Þegar flett er upp í ritum um sögu stærðfræðinnar er að finna klausur um algebru meðal menningarþjóða í Egyptalandi, Babýloníu og Kína löngu fyrir daga Krists. Þessar þjóðir fengust við algebru í þeim skilningi að menn leystu til dæmis fyrsta stigs jöfnur með einni eða tveimur óþekktum stærðum, þekktu Pýþagórasarreglu og gátu leyst annars stigs jöfnur. Menn notuðu hins vegar forskriftir til að gera þetta í stað bókstafa eins og gert er í eiginlegri algebru.

Önnur bók hins merka rits Undirstöður (Elementa) eftir Evklíð (um 325-265 fyrir Krist) frá því um 300 fyrir Krist, fjallar að mestu leyti um efni sem nú telst til algebru. Þar eru til dæmis reglurnar

a(b + c + d) = ab + ac + ad

og

(a + b)² = a² + 2ab + b²

birtar undir merkjum flatarmyndafræði og rúmfræði ásamt fleiri reglum sem auðveldlega má yfirfæra á táknmál algebru. Meðal þeirra er að finna lausn annars stigs jöfnu.

Venjan er þó að telja algebru upprunna í hinu islamska menningarríki sem reis á Arabíuskaga á 7. öld og breiddist síðan út um Mið-Austurlönd og Norður-Afríku. Arabar tóku lausnir jafna í arf frá Babýloníumönnum, tengdu við gríska rúmfræði og sköpuðu úr því nýja algebru. Í ritum islamska stærðfræðingsins Thabit ibn Qurra (836 - 901) vísar hann til reglna úr riti Evklíðs til að sanna framsetningu sína á lausn annars stigs jöfnu.

Orðið algebra er rakið til bókar islamska höfundarins al-Kwarizmis (um 780 – 850), Al-kitab al-muhtasar fi hisab al-jabr wa-l-muqabala (lauslega þýtt: Reikningar um endursköpun jafnvægis og samanburð). Orðið 'al-jabr' hefur ummyndast í orðið algebra í evrópskum tungumálum. Að sögn höfundar fjallar bókin um þá reikninga sem menn þurfa á að halda varðandi arf, sjóði, skiptingu, málsókn, viðskipti, landmælingu, hönnun skurða, flatar- og rúmmálsútreikninga og margvísleg önnur efni. Ætlun al-Kwarizmis var því að setja saman handbók um hagnýt efni en ekki fræðileg. Höfundur hefur þó orðið fyrir töluverðum áhrifum af grískum ritum um stærðfræði svo að bókin er allfræðileg. Þar eru gefnar aðferðir til lausna á sex gerðum jafna.

Al-Kwarizmi ritaði aðra bók um talnareikning þar sem indóarabískar tölur og tilheyrandi reikniaðgerðir eru kynntar. Nánar er sagt frá henni í svari Snorra Agnarssonar við spurningunni Hvernig er orðið algrím til komið?

Bækur hans tvær höfðu geysimikil áhrif eftir að þær bárust inn í evrópskan menningarheim í þýðingum og endursögnum á 12. öld. Á Ítalíu og síðar víðar um Evrópu fóru verslun og viðskipti í vöxt á næstu öldum. Þá varð til stétt stórumsvifamanna sem tók að nota indóarabískar tölur og reikniaðgerðir í viðskiptum og bókhaldi. Þörf varð á sérstakri stétt manna sem fékkst við að reikna. Þeir nefndust á ítölsku maestri d’abbaco, abakistar eða reiknigrindarmenn. Abakistar rituðu bækur um listir sína og kenndu sonum viðskiptajöfranna í nýjum skólum utan hefðbundinna háskóla. Í kjölfarið fengust menn við talnaþrautir og urðu sífellt leiknari að leysa jöfnur.

Islömsk algebra var alfarið í samfelldu máli án táknmáls og er því ekki bókstafareikningur í nútímaskilningi. Þótt menn kynnu að leysa jöfnur voru ekki notuð tákn fyrir óþekktar stærðir eða veldi af þeim. Allir reikningar voru skýrðir út með orðum. Sama máli gegndi um stærðfræði abakista á Ítalíu en á fjórtándu og fimmtándu öld þróuðust skammstafanir sem urðu vísir að táknmáli. Dæmi um þær voru C fyrir 'cosa', hlut eða óþekkta stærð, Ce fyrir 'censo' eða ferning, annað veldi. og Cu fyrir 'cubo' eða tening, þriðja veldi. Viðfangsefnin voru talnadæmi og neikvæðar lausnir á jöfnum komu ekki fyrir. Undir lok 15. aldar komu fram táknin \(\overline{p}\) og \(\overline{m}\) fyrir 'più' og 'meno', plús og mínus. Jafnframt því tóku menn að glíma við lausnir jafna af hærri stigi en tveimur.

Svipuð þróun varð víðar um Evrópu. Menn glímdu við jöfnur og táknmál þróaðist. Aðgerðatáknin + og – birtust í þýskum bókum snemma á 16. öld og sömuleiðis Ö fyrir ferningsrót.

Á sextándu öld höfðu menn náð eins langt og komist varð með islamska algebru. Þeir gátu leyst jöfnur allt að fjórða stigi en táknmálinu var áfátt. Tákn voru notuð fyrir óþekktar stærðir og veldi en ekki fyrir stuðla jöfnunnar. Eina leiðin til að skýra aðferðir við að leysa jöfnur var að nota töluleg dæmi. Hvergi var formúlur að finna, til dæmis formúlu fyrir lausn annars stigs jöfnu sem hver framhaldsskólanemi um aldahvörfin 2000 kannast við.

Með Frakkanum François Viete (1540 – 1603) beindist algebra inn á nýjar brautir. Í verkum sínum sameinaði Viete þekkingu á islamskri algebru og grískri rúmfræði úr nýþýddum forngrískum ritum. Rithætti hans var enn í ýmsu ábótavant frá nútímasjónarmiði; hann notaði til dæmis ekki jafnaðarmerki heldur orð, 'aequitus', og C² ritaði hann 'C quadratum'. En það sem skipti sköpum var að Viete tók upp bókstafi fyrir talnafasta og losnaði þannig úr viðjum talnadæma og langorðra útskýringa sem forverar hans voru bundnir í. Með því að nota bókstafi um talnafasta var auðveldara að beina athygli að tilurð lausnar á jöfnu fremur en að einblína á lausnina sjálfa.

Í ritum sínum sýnir Viete ýmsar alkunnar algebruumritanir í fyrsta skipti á táknmáli, að vísu með þeim takmörkunum sem lýst hefur verið. Sem dæmi má nefna hina alkunnu reglu

(A – B) sinnum (A + B) er jafnt (A² – B²)

sem hafði löngu fyrr verið tjáð með orðum í ritum Forngrikkja.

Til marks um þróun algebrunnar á 1350 ára tímabili er athyglisvert að skoða dæmi þar sem gefnar eru summa tveggja talna og mismunur sömu talna. Þetta dæmi leysti Diofantus um miðja þriðju öld eftir Krist með tölum. Jordanus de Nemore (1230-1260) leysti sama dæmi á fyrri hluta 13. aldar með orðum eingöngu en Viete leysti dæmið með táknmáli.

Saga algebrunnar er þannig saga aldalangrar þróunar þar sem ólíkir straumar menningar fléttast saman og renna stoðum undir stærðfræði eins og hún er iðkuð nú um þúsaldarmót. Nútíma algebra felur í sér öflugt táknmál til að tjá flóknar hugmyndir á einföldu og skýru formi. Sérhvert ungmenni sem hefur nám í algebru þarf samt sem áður að byrja á byrjuninni og öðlast skilning út frá sínum reynsluheimi. Rætt er um hvort ekki sé rétt að beita orðræðu og talnadæmum jafnhliða táknmálinu í algebrukennslu meira en oft hefur tíðkast til að auðvelda ungum nemum fyrstu skrefin inn í þennan framandi hugmyndaheim. Slíkt væri óneitanlega í góðu samræmi við þróun algebrunnar eins og henni hefur verið lýst hér.

Heimild:

• Katz, Victor: A History of Mathematics. Harper Collins College Publishers. 1993.

Meira lesefni:

• Kline, Morris, 1990. Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. New York: Oxford University Press.
• Lindberg, David C., 1978. Science in the Middle Ages. Chicago: The University of Chicago Press.

Myndir:

• Wikipedia. Mynd af blaðsíðu úr riti al-Kwarizmis. Sótt 18. 7. 2011.
• Wikipedia. Mynd af Francois Viete. Sótt 18. 7. 2011.

...