Hver var síðasta setning Fermats?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hver var síðasta setning Fermats?
Síðasta setning Fermats segir að jafnan

aⁿ + bⁿ = cⁿ

hafi engar heiltölulausnir ef að talan n er stærri eða jöfn 3. Auðvitað má fyrir hvaða n sem er finna tölur a, b og c þannig að jafnan gildi, en þá er að minnsta kosti ein þeirra ekki heiltala. Að vísu er auðvelt að finna heiltölulausnir á jöfnunni ef að minnsta kosti ein talan er núll, en þau tilvik eru ekki talin með. Glöggir lesendur hafa örugglega tekið eftir að ef talan n er jöfn 2, þá fæst jafnan úr Pýþagórasarreglunni, og þá eru til óendanlega margar lausnir á jöfnunni; til dæmis a = 3, b = 4 og c = 5.

Franski lögfræðingurinn og stærðfræðingurinn Pierre de Fermat (1601 - 1665) setti þessa tilgátu fram, en hún fannst ekki fyrr en eftir dauða hans, ásamt staðhæfingu um að hann væri búinn að finna dásamlega sönnun á tilgátunni. Fermat setti fram fjölmargar tilgátur ásamt fullyrðingum af þessu tagi sem þrautir handa kunningjum sínum, en nafnið ,,síðasta setning Fermats'' er dregið af því að þetta var eina fullyrðingin sem tókst hvorki að sanna né hrekja í mörg hundruð ár. Bæði stærðfræðingar og áhugamenn um stærðfræði hafa heillast af síðustu setningu Fermats frá því hún var sett fram. Að hluta til er það af því að fullyrðingin er svo einföld; hvaða grunnskólanemi sem er getur skilið hvað tilgátan segir, en aftur á móti tók það stærðfræðinga rúm 350 ár að komast að hvort hún væri sönn eða ekki. Andrew Wiles og Richard Taylor tókst að sanna setninguna árið 1994.

Fyrstu árin eftir að tilgátan var uppgötvuð reyndi fólk að sanna ýmis sértilfelli hennar. Fermat á heiðurinn af fyrsta sigrinum, en honum tókst að sanna til tilgátan gildir fyrir n = 4. Frá 17. öld og fram á fyrri hluta 19. aldar spreyttu menn á við Dirichlet, Euler, Legendre og Lamé sig á tilgátunni, en þá var aðeins búið að sýna fram á tilvikin þegar n er ein talnanna 3, 4, 5 eða 7. Menn voru þó búnir að átta sig á því að til þess að sanna tilgátuna nægði að staðfesta hana fyrir prímtölurnar og töluna 4.

Um miðbik 19. aldar færðist áherslan frá því að staðfesta tilgátuna fyrir einstaka frumtölur yfir í að staðfesta hana fyrir heilu flokkana af frumtölum í einu. Þessa áherslubreytingu má rekja til hugmynda Sophie Germain (1776 - 1831), sem er ein af þekktari kvenkyns stærðfræðingum sögunnar. Árið 1847 tókst Ernst Kummer að staðfesta tilgátuna fyrir allar reglulegar frumtölur, en eftir það gekk lítið að sanna tilgátuna fyrir fleiri tilvik.

Á miðri 20. öld datt mönnum í hug að tengja saman lausnir á jöfnu Fermats og ákveðna tegund af sporgerum ferlum, en það eru ferlar sem skilgreinast af jöfnum af taginu

y² + axy + by = x³ + cx² + dx + e

þar sem a, b, c, d og e eru fastar tölur. Í framhaldi af því tókst að sýna að þessi ákveðna tegund sporgerra ferla bryti í bága við svokallaða Taniyama-Shimura-tilgátu. Ef hægt væri að sanna Taniyama-Shimura-tilgátuna væri því búið að finna sönnun á síðustu setningu Fermats. Andrew Wiles birti sönnun á þessari tilgátu árið 1993. Við ritrýningu fundust einhverjir gallar á sönnuninni, en árið 1994 birti Wiles endurbætta sönnun ásamt nemanda sínum Richard Taylor, og þeim hafði þar með tekist að sanna síðustu setningu Fermats. Sönnun þeirra hleypur á 200 blaðsíðum.

Athygli vekur að til þess að sanna setningu Fermast þurfti að finna upp fjölmörg ný hugtök og verkfæri í stærðfræði, og Wiles og Taylor sönnuðu sjálfir margar nýjar setningar við vinnu sína. Því verður að teljast harla ólíklegt að Fermat hafi sjálfur búið yfir sönnun á setningunni sinni, heldur er næsta víst að hann hafi fallið í einhverja sömu gryfju og þeir fjölmörgu sem hafa birt gallaðar sannanir á síðustu setningu Fermats. Að lokum er vert að minnast á, að þó niðurstaðan úr síðustu setningu Fermats sé ekki mjög merkileg, þá hefur athyglin sem hún hefur fengið og öll vinnan sem fór í að sanna hana alls ekki farið til spillis. Mörg hugtök og setningar í talnafræði og algebru hafa litið dagsins ljós í gegnum tilraunir manna til að sanna setningu Fermats, og fjöldi manna hefur heillast af stærðfræði fyrir tilstilli hennar.

Heimildir og myndir:

• Simon Singh. Síðasta setning Fermats. Hið íslenska bókmenntafélag. Reykjavík, 2006.
• Síðasta setning Fermats á ensku og frönsku Wikipedia. Sótt 24.06.2008.
• Mynd af Pierre de Fermat fengin af Wikimedia Commons.
• Mynd af Andrew Wiles fengin af Wikimedia Commons, C.J. Mozzochi hjá Princeton háskóla í New Jersey á höfundarréttinn.

Aðrir spyrjendur voru:

Axel Ágústsson, Gunnar Björn Björnsson, Kári Helgason, Kristófer Leifsson, Sindri Sigurðsson, Sæmundur Ari Halldórsson og Una Björg.

Hér var einnig svarað spurningunum:

• Hvernig sönnun hefur verið sett fram á síðustu setningu Fermats og af hverjum?
• Það var maður sem setti fram óleysanlega formúlu en fann lausnina rétt áður en hann dó og náði ekki að segja neinum hana. Hver var það? (Athugasemd: Okkur á Vísindavefnum dettur ekki í hug neinn annar en Fermat og setningin hans í sambandi við þessa spurningu.)
• Hvers vegna hefur engum tekist að sanna setningu Fermats? Eru einhverjar líkur á því að setningin sé ekki algild?

...