Getið þið útskýrt fjórðu víddina?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Getið þið útskýrt fjórðu víddina?

Í þessu svari verður að mestu skoðuð svokölluð evklíðsk rúmfræði, þar sem fjarlægðir eru líkar því sem við eigum að venjast. Lesa má meira um það í svari Gunnars Þórs Magnússonar við spurningunni Er alltaf bein lína á milli tveggja punkta og geta beinar línur haft fleiri en einn skurðpunkt?

Þegar eðlisfræðingar nýta sér hugtök á borð við rúm og víddir þeirra birtast þau sem hlutar stærðfræðilegra líkana sem líkja eiga eftir raunheiminum. Stærðfræðileg merking víddar er þó tæplega augljós, sérstaklega þegar talað er um fjórvítt rúm eða því æðri víddir.

René Descartes, 17. aldar hugsuður, tók upp á því í stærðfræðiverkum sínum að merkja talnapör sem punkta inn á töflur, svo sem rúðustrikaðan pappír. Þannig var talnaparinu (1,3) gefin ný rúmfræðileg þýðing. Ekki var lengur aðeins um tvær samanfastar tölur að ræða heldur þann punkt sem liggur einni einingu hægra megin frá gefnu lóðréttu striki og þremur einingum fyrir ofan lárétt strik.

Þessi nýjung kann að virðast fáfengileg en hún umbylti rúmfræðinni og veitti henni gagnger og varanleg tengsl við aðra stærðfræði. Með þessum hætti má ekki aðeins nota myndrænar aðferðir til að skoða tölulegar upplýsingar, heldur má líka snúa aðferðinni við og nota tölur til þess að skoða rúmfræði.

Allar venjulegar tölur (rauntölur) má merkja inn á talnalínuna $\mathbb{R}$. Hún er einvíð; á henni má aðeins fara í eina átt og til baka. Punktur af því tagi sem má merkja inn á rúðustrikað blað er „talnatvennd“; allar hugsanlegar talnatvenndir lýsa tvívíðu rúmi. Slíku rúmi má lýsa sem eins konar „margfeldi“ tveggja talnalína, sem nefnt er feldismengið $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$, eða bara $\mathbb{R}^2$.

Það er heldur ekkert því til fyrirstöðu að búa til „talnaþrenndir“ á borð við (1,3,2) og þær má ágætlega sjá fyrir sér í rúminu sem við þekkjum, þótt til þess þurfi að slíta teikninguna frá hinum tvívíða fleti pappírsins. Talnaþrenndin hér að ofan gæti til dæmis táknað punkt í herbergi sem liggur 1 metra frá vesturveggnum, 3 metra frá suðurveggnum og 2 metra frá gólfi. Þetta er lýsing á þrívíða rúminu $\mathbb{R}^3$.

Ef á að færa umfjöllunina í æðri víddir en þrjár kemst handverksmaðurinn þó í bobba. Það er engin leið til að smíða flöt sem er hornréttur á suðurvegginn, vesturvegginn og gólfið en þar kemur Descartes við sögu. Við þurfum nefnilega ekki að sjá fyrir okkur 4, 5 eða 10 víddir heldur getum við nýtt okkur talnaferndir, talnafimmundir og talnatíundir til að framlengja þau rúmfræðilögmál sem okkur eru áður kunn í einni, tveimur og þremur víddum.

Skoðum til dæmis fjarlægðir: Hugsum okkur að einhver manneskja gangi frá einhverjum punkti 3 metra í austur og þá 4 í norður (hunsum augnablik hnattlögun jarðar og reiknum með alveg sléttum fleti). Regla Pýþagórasar segir okkur að fjarlægð göngumannsins frá upphafspunkti væri þá $\sqrt{3^2+4^2}$ metrar, það er að segja 5 metrar. Nú vill gönguhrólfurinn ef til vill taka upp flug og flýgur einhverja 12 metra beinustu leið upp, þvert á allar leiðir sem hægt er að fara á jörðu niðri. Þar sem sú átt er líka hornrétt á allar gönguleiðir á landi má enn nota sömu reglu til að finna fjarlægð hans frá upphafspunkti með stærðinni $\sqrt{\sqrt{3^2+4^2}^2+12^2}$. Þetta kann að virðast flókið en stærðina má einfalda og fá hennar í stað út $\sqrt{3^2+4^2+12^2}$, sem gefur töluna 13 metra.

Ef þessi maður býr í fjórvíðu rúmi vitum við að hann getur enn ferðast í átt sem liggur hornrétt á allar þær áttir sem hann hefur hingað til farið í. Þá má enn framlengja regluna og komast að því að eftir ferðalag um 13 metra í þá átt er fjarlægð hans frá upphafspunkti $\sqrt{3^2+4^2+12^2+13^2}$ metrar, það er að segja um það bil 18,4 metrar. Þetta lýsir einmitt formúlunni til að reikna fjarlægðir í venjulegu rúmi af æðri víddum.

Þetta nægir til dæmis til að framlengja hugtakið um kúlu í 4 víddir: fjórvíð kúla með radíus $r$ og miðju í einhverjum punkti $p$ er skilgreind sem safn þeirra punkta sem eru í minni fjarlægð en $r$ frá punktinum $p$. Í stað tvívíðs flatar venjulegrar kúlu hefur slík kúla þá jaðar sem er þrívíður. Fyrirbæri af þessu tagi, sem lýsa má með vídd sem er einum lægri en vídd rúmsins sem það liggur í, nefnist háflötur í rúminu og hagar sér að mörgu leyti á svipaðan hátt og hefðbundinn flötur í þrívíðu rúmi. Meira má lesa um kúluhvel í æðri víddum í svari Robert Magnus og Heiðu Maríu Sigurðardóttur við spurningunni Hvernig er sagan af því þegar Perelman leysti Poincaré-tilgátuna?

Með svipuðum hætti má framlengja ýmis önnur hugtök, svo sem línur, teninga, margflötunga og horn. Þá má líka haga fjarlægðum, sem á stærðfræðimáli kallast firðir með öðrum hætti en flestir eiga að venjast og fá þannig fram óvæntar nálganir á hin ýmsu fræði og hugtök. Í grannfræði er því almennt sleppt að nota fjarlægðir og svokölluð grannmynstur notuð í staðinn.

Þá vísar oft „fjórða víddin“ til tímans í hversdagslegu samhengi. Í Afstæðiskenningu Einsteins er hinum þremur kunnuglegu rúmvíddum og einni vídd tímans steypt saman í eitt fjórvítt rúm, svokallaðan rúmtíma. Þar er þó fjarlægð skilgreind með öðrum hætti en hér. Þórður Jónsson ræðir rúmfræðilega þætti afstæðiskenningarinnar í svari sínu við spurningunni Hvað er átt við með sveigðu tímarúmi og hvernig tengist það aðdráttarafli?

Varðandi fjölda vídda í raunheiminum skrifaði Lárus Thorlacius árið 2000 greinargott svar við spurningunni Getur rúmið sem við hrærumst í haft fleiri víddir en þær þrjár sem við eigum að venjast?

Myndir:

• Fyrsta mynd: Three-dimensional space - Wikipedia, the free encyclopedia. (Sótt 26.6.2012).
• Önnur mynd: René Descartes - Wikipedia, the free encyclopedia. (Sótt 26.6.2012).
• Þriðja og fjórða mynd: Teiknaðar af höfundi svarsins.
• Fimmta mynd: Tesseract - Wikipedia, the free encyclopedia. (Sótt 28.6.2012).

...