Hvað eru markverðir stafir í tölum?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hvað eru markverðir stafir í tölum?
Öll spurningin hljóðaði svona:

Vitið þið forsögu þess að menn fundu upp á markverðum stöfum (tölustöfum) í raunvísindum til að hjálpa til við skilgreiningu á nákvæmni? Það væri sér í lagi gaman að vita af hverju 0 er ekki markverður stafur í heilum tölum, nema kannski sem seinasti stafur.

Algeng skilgreining á markverðum tölustöfum í tölu er þessi:

Markverðir stafir eru allir tölustafir í tölu nema núll lengst til vinstri í tölunni.

Samkvæmt þessu er fjöldi markverðra stafa í eftirfarandi tölum:

• 1,0023 hefur fimm markverða stafi.
• 0,0023 hefur þrjú núll lengst til vinstri og hefur því tvo markverða stafi.
• 1,6 · 10³ m hefur tvo markverða stafi.

Ef um staðalform er að ræða, til dæmis 1,6 · 10³, er einungis gengið út frá tölustöfunum fyrir framan tugveldið og talan 1,6 · 10³ hefur því tvo markverða stafi. Þegar rakið er upp úr staðalforminu er 1,6 · 10³ = 1600. Hlutverk núllanna tveggja aftan við 6 er þá einungis að fylla sæti til að sýna gildi hinna tölustafanna.

Núll aftast í tugabroti aftan við kommu eru oftast markverðir tölustafir, annars ætti ekki að skrifa þá. Dæmi um það er þegar sagt er að hæð manns sé 1,90 m. Þá er núllið markverður tölustafur.

Spurningar vakna um núll aftast í heilli tölu. Fjölda markverðra tölustafa í heilli tölu þarf oft að ráða af því samhengi sem talan er sett fram í. Sem dæmi má taka að algengt er að segja að ummál jarðar sé 40.000 km. Þegar tala er sett fram á þennan hátt er óvarlegt að treysta því að öll núllin séu markverðir stafir.

Núll gegnir tvenns konar hlutverki í sætiskerfi. Annars vegar hefur núllið tölugildi, en hins vegar er núllið notað til að fylla sæti til að sýna gildi annarra tölustafa. Spurningin í dæmi ummáls jarðarinnar er hversu mörg núll eru þar til að fylla sætin og hver þeirra eru markverðir tölustafir.

Önnur skilgreining á markverðum tölustöfum segir að markverðir tölustafir í tölu séu tölustafir sem eru áreiðanlegir samkvæmt mælingum og úrvinnslu úr þeim. Fjöldi markverðra tölustafa er nátengdur mögulegri nákvæmni í mælingum.

Ef hægt er að tala um að markverðir stafir eigi sér forsögu, mætti tengja hana vísindabyltingu um miðja 16. öld sem kennd er við Kópernikus. Þá var tekið að gera auknar kröfur um nákvæmni í mælingum og kröfur um mælikvarða sem væru óháðir duttlungum í opinberum tilskipunum og mismunandi líkamsvexti manna, svo sem þumlum, föðmum, og fetum. Menn vildu skilgreina mælikvarða sem væri byggður á náttúrufyrirbrigði sem allir jarðarbúar gætu sameinast um. Þannig varð metrinn til.

Metrakerfið var hannað þannig á dögum frönsku byltingarinnar skömmu fyrir aldamótin 1800, að fjarlægðin frá miðbaug til norðurpóls yrði 10.000 km, eða 10⁷ m. Ummál jarðar yrði þá 40.000 km. Mæld var vegalengdin milli Barcelona á Norður-Spáni og Dunkirk nyrst í Frakklandi. Báðar borgirnar standa við sjávarmál á lengdarbaug sem gengur í gegnum París. Landmæling var á þessum tíma orðin þróuð tækni sem byggðist á þríhyrningamælingum þar sem ein lengd er mæld nákvæmlega og síðan eru dregnir þríhyrningar út frá henni og hornin mæld nákvæmlega. Út frá þessum mælingum var gerð stika úr málmblöndu sem var varðveitt við stöðugt hitastig og höfð til viðmiðunar um lengd metra allt til ársins 1960.

Um skilgreiningu markverðra tölustafa segir líka:

Þegar mælitölur eru notaðar í frekari útreikningi hefur svarið jafn marga markverða stafi og sú mælitala sem hefur fæsta tölustafi í útreikningnum.

Ef mæling á vegalengd er 1068,7 metrar (mæling með 5 markverðum stöfum) og mæling á tíma er 23,21 sekúndur (mæling með 4 markverðum stöfum) fæst eftirfarandi útreikningur á meðalhraðanum:

1068 m/23,21 s = 46,0448082722964239 …. m/s.

Þar sem önnur mælitalan hafði 4 markverða stafi verður nákvæmasta hraðamælitalan 46,04 m/s (það er með 4 markverðum stöfum).

Aðferðir við landmælingar seint á 18. öld settu nákvæmni mælingar á vegalengdinni milli Dunkirk og Barcelona skorður. Að minnsta kosti ein lengdarmæling, fjöldi hornamælinga og mælingar á hnattstöðu borganna eru fleiri en svo að hægt hafi verið að ákvarða fjarlægðina milli þeirra með mörgum markverðum stöfum.

Nýjar mælingar sýna að ummál jarðarinnar, mælt yfir norður- og suðurpól eins og frönsku vísindamennirnir gerðu, er 40.007.863 metrar. Þessi tala sýnir að nákvæmni mælinga frönsku vísindamannanna var nálægt þremur markverðum stöfum, 40,0 þúsund km.

Heimildir og mynd:

• History of the metre - Wikipedia. (Sótt 19.4.2021).
• Significant figures - Wikipedia. (Sótt 19.4.2021).
• Tofteberg, G. N., Tangen, J. , Stedøy-Johansen, I. M., og Alseth, B. (2015). Skali. Stærðfræði fyrir unglingastig, 2A. Reykjavík: Menntamálastofnun.
• Mynd: Kilometre definition.svg - Wikimedia Commons. (Sótt 23.4.2021).

...