Hvers vegna notum við sætiskerfi og hvaða kosti hefur það umfram önnur talnakerfi?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hvers vegna notum við sætiskerfi og hvaða kosti hefur það umfram önnur talnakerfi?
Einfaldasta leiðin til að rita tölur er að skrá strik fyrir hverja einingu. Betri yfirsýn fæst yfir talninguna ef strikunum er raðað í hneppi, til dæmis fimm strik saman eins og oft er gert í spilamennsku.

Rómverskur talnaritháttur er skyldur þessum rithætti, en ef til vill þrepi ofar í þróuninni. Þá táknar bókstafurinn I eina einingu og III þrjár einingar, en bókstafurinn V látinn tákna fimm einingar, X tíu einingar, L fimmtíu, C hundrað, D fimm hundruð, M þúsund og svo framvegis. Galli þessa kerfis er að sífellt þarf að bæta við táknum til að tákna hærri og hærri tölur. Rómversk talnaritun var þó notuð í Evrópu öldum saman en reikningar fóru fram á talnagrindum.

Þess vegna er sætiskerfi talna dálítið snilldarverk. Aðeins þarf að nota tíu tákn, talnatáknin 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9, og eitt tákn að auki, 0, til að tákna auð sæti.

Teinar í talnagrindum tákna einingu, tug, hundrað og svo framvegis og líta má á talnagrind sem undanfara talnaritunar með sætiskerfi. Sætistalnaritun breiddist út um Evrópu á síðmiðöldum og olli mikilli byltingu í færni manna til að fara með tölur. Oft er miðað við bókina Liber abaci sem rituð er 1202 af ítalanum Leonardo frá Pisa, sem nefndur var Fibonacci, sonur Bonaccis. Bonacci var kaupmaður sem verslaði við arabískar þjóðir en sætiskerfi barst frá Aröbum sem höfðu lært talnaritunina af Indverjum. Þekktastur arabískra höfunda var Mohamed ibn Musa al-Kwarizmi sem ritaði kennslubók í indverskum reikningi og aðra um það sem nú nefnist algebra.

En hvað er þá sætiskerfi? Í stuttu máli fer gildi einstakra tölustafa eftir sæti þeirra í tölunni. Tökum sem dæmi töluna 587.052. Í þessari talnasamstæðu kemur tölustafurinn 5 tvisvar sinnum fyrir. Hægra megin merkir hann 5 tugir en vinstra megin 5 hundruð þúsund. Töluna má liða þannig niður:

5·100000 + 8·10000 + 7·1000 + 0·100 + 5·10 + 2

Í öllum liðum kemur fyrir veldi af 10 og veldið hækkar frá hægri til vinstri:

5·10⁵ + 8·10⁴ + 7·10³ + 0·10² + 5·10¹ + 2·10⁰

Auðséð er að þannig mætti halda áfram með hækkandi veldi eins langt til vinstri og óskað er. Engin takmörk eru fyrir því hve stórar tölur er hægt að rita með þessum hætti.

Í íslensku ritgerðinni Algorismus frá 13. öld segir:

"... sifra (núll) merkir ekkert fyrir sig en hún gerir stað og gefur öðrum fígúrum merking“.

Hlutverk núllsins er fyrst og fremst að marka auð sæti og kom það ekki til sögunnar fyrr en seint í þróunarsögu talnahugtaksins en reyndist vera lykilhugtak í sætistalnarituninni.

En hvers vegna veldi af tíu? Eflaust tengist það þeirri staðreynd að maðurinn er með tíu fingur. En tíu er ekki eina grunntalan sem notuð hefur verið. Í fornum ritum íslenskum var gjarnan talið í tylftum og stórt hundrað voru tíu tylftir. Menningarþjóðin Babýloníumenn, sem bjó í landinu milli fljótanna Efrat og Tígris þar sem Írak er nú, hafði tamið sér háþróaða talnaritun um 1700 f. Kr. og hefur vitnisburður um það varðveist á leirtöflum. Babýloníumenn notuðu sætistalnaritun með grunntölunni 60. Þar sem grunntalan var svo há var ekki eins mikil þörf fyrir núll og í tugakerfi og skilja varð af samhenginu hvert gildi sætisins var. Leifar af þessari talnaritun er að finna í tímatalinu, þar sem klukkustundin er 60 mínútur og mínútan 60 sekúndur.

Kostir sætistalnaritunar halda sér þótt valin sé hvaða önnur náttúrleg tala sem er. Látum g vera grunntölu. Þá mætti rita:

... + f·g⁵ + e·g⁴ + d·g³ + c·g² + b·g¹ + a·g⁰

Ekki er gott að nota mjög stóra grunntölu því þá þurfum við mörg talnatákn. Að sumu leyti er það þó kostur að grunntalan sé deilanleg með mörgum tölum, eins og til dæmis 12 og 60 eru. En grunntala, sem er frumtala eins og 7 eða 11, hefði einnig sína kosti.

Sætistalnaritun með grunntölunni 2, minnstu hugsanlegu grunntölunni, hefur fengið feikimikil not í tölvunarfræði. Þegar grunntalan er tveir þarf aðeins tvö talnatákn, 1 og 0. Slíkt kerfi nefnist tvíundakerfi.

Tvö tákn er auðvelt að tákna á rafrænan hátt. Þau má setja fram með straum/ekki straum í rafrás, kveikt eða slökkt á peru, + eða – og svo framvegis. Þetta er óspart notað í tölvutækni.

Tíu fyrstu tölurnar í tvíundakerfinu eru:

1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010.

Tvíundakerfi er sætiskerfi með grunntölunni tveimur samkvæmt eftirfarandi formi þar sem bókstafirnir a, b, c, … tákna 1 eða 0:

... + f·2⁵ + e·2⁴ + d·2³ + c·2² + b·2¹ + a·2⁰

Skoðum nú tengsl tvíunda og tugakerfis, til dæmis með því að athuga töluna 10101_tví og finna talnagildi hennar í tugakerfi:

10101_tví = 1·2⁴ + 0·2³ + 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰ = 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 21_tug

Ekkert er því til fyrirstöðu að setja kommu í tölu sem rituð er í tvíundakerfi og halda áfram til hægri með tölustafarununa:

110,11_tví = 1·2² + 1·2¹ + 0·2⁰ + 1·2^-1 + 1·2^-2 = 4 + 2 + 0 + ½ + ¼ = 6 ¾_tug.

Sýnt er að tölur ritaðar í tvíundakerfi taka töluvert pláss og auk þess eru ekki auðlesnar. Þess vegna hefur verið þróað nokkurs konar lestrarkerfi fyrir tvíundakerfi þar sem sextán er grunntala. Þetta kerfi er nefnt sextándakerfi (e. hexadecimal system). Lesandanum er látið eftir að gera sér þetta kerfi í hugarlund og tengsl þess við tvíundakerfi.

Heimildir:

• Guðmundur Arnlaugsson: Tölur og mengi, 3. útg. Rvík 1969.
• Finnur Jónsson: Hauksbók, Algorismus. Khöfn, 1892-96.

...