Hvernig er hægt að leggja saman kvaðratrætur og draga þær hvora frá annarri?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hvernig er hægt að leggja saman kvaðratrætur og draga þær hvora frá annarri?
Upphaflega spurningin var sem hér segir:

Hvernig leggur maður saman rætur (til dæmis $\sqrt{52}+\sqrt{32}$) og hvernig dregur maður þær frá hvor annarri (til dæmis $\sqrt{21} - \sqrt{7}$)?

Kvaðratrótum af heilum tölum má skipta í tvo flokka:

• Ef talan undir rótinni er ferningstala, sem er annað veldi heillar tölu, er kvaðratrót hennar heil tala. Til dæmis er $64 = 8^2$ ferningstala og kvaðratrót hennar, $\sqrt{64}$, er heila talan $8$.

• Ef talan undir rótinni er ekki ferningstala er kvaðratrótin óræð, sem þýðir að hana er ekki hægt að skrifa sem brot. Til dæmis er $14$ ekki ferningstala og kvaðratrót hennar, $\sqrt{14}$, er því óræð.

Ferningstölur eru tiltölulega fáar meðal heilu talnanna; til dæmis er einungis 31 ferningstala milli 1 og 1000. Af framansögðu leiðir þá að í flestum tilfellum er ekki hægt að skrifa kvaðratrótina af heilli tölu sem brot.

Þegar reikna á summu eða mismun tveggja kvaðratróta verður því yfirleitt að grípa til námundunar. Áður hefur verið fjallað um hvernig nálga má kvaðratrætur í eftirfarandi svörum á Vísindavefnum:

• Svari Stefáns Inga Valdimarssonar og Þorsteins Vilhjálmssonar við spurningunni Hvernig reiknar maður ferningsrætur og aðrar rætur, til dæmis 7 í veldinu 1/3, án vasareiknis?
• Svari Hildar Guðmundsdóttur við spurningunni Hvernig reikna reiknivélar kvaðratrætur?

Í þessu svari verður ekki rætt frekar um nálganir, heldur um það hvort, og þá hvernig, hægt sé að einfalda summu og mismun tveggja róta.

Þekkt er að þegar kvaðratrætur eru margfaldaðar saman má færa margföldunina undir rótarmerkið á eftirfarandi hátt:

\[\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}. \quad (\ast)\]

Sönnun þessarar reglu er mjög einföld og hún er sýnd í svari sama höfundar við spurningunni Hvað er að þessari sönnun á að 1 = -1?

Eins má færa deilinguna undir rótarmerkið þegar einni kvaðratrót er deilt með annarri á eftirfarandi hátt:

\[\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}b}.\]

Þessa reglu er hægt að sanna á hliðstæðan hátt og regluna á undan.

Í ljósi síðustu tveggja efnisgreina er freistandi að geta sér til að summa og mismunur tveggja kvaðratróta hafi sama eiginleika, það er að færa megi samlagningu og frádrátt undir rótarmerkið eins og í reglunum að ofan. Hins vegar sjáum við:

• $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3+4=7$, $\;$en$\;$ $\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$,
• $\sqrt{25} - \sqrt{16} = 5-4 = 1$, $\;$en$\;$ $\sqrt{25-16} = \sqrt{9} = 3$.

Dæmin tvö sýna að ef $a$ og $b$ eru jákvæðar tölur, þá er $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ ekki endilega sama talan og $\sqrt{a+b}$, og sömuleiðis er $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ ekki endilega sama talan og $\sqrt{a-b}$. Raunar er hægt að sýna með einföldum reikningum að $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ er aldrei sama talan og $\sqrt{a+b}$, og sömuleiðis er $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ aldrei sama talan og $\sqrt{a-b}$, sama hvaða jákvæðu tölur eiga í hlut.

Samlagning og frádráttur kvaðratróta fullnægja því ekki sömu einföldunarreglum og margföldun og deiling. Enn fremur höfum við enga altæka reglu sem gerir okkur kleift að einfalda summu eða mismun tveggja kvaðratróta. Það er aðeins hægt þegar ræturnar tvær hafa ákveðið sameiginlegt einkenni, sem nú verður lýst.

Þegar unnið er með kvaðratrætur af heilum tölum, eins og til dæmis $\sqrt{32}$, $\sqrt{75}$ og $\sqrt{320}$, er venja að umrita þær þannig að heila talan undir rótinni sé sem minnst. Þessi umritun felur tvennt í sér:

• Fyrst er fundin stærsta ferningstalan sem gengur upp í tölunni undir rótinni.
• Síðan er reglan um margfeldi tveggja róta, sem er merkt með $(\ast)$ framar í svarinu, notuð til að „fjarlægja“ ferningstöluna „undan rótinni“.

Til að sýna hvernig umritunin gengur fyrir sig skulum við skoða $\sqrt{32}$. Athugum fyrst að stærsta ferningstalan sem gengur upp í $32$ er $16 = 4^2$. Þess vegna fæst samkvæmt reglunni um margfeldi tveggja róta:

\[\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 4\cdot\sqrt2 = 4\sqrt2.\]

Skoðum nú $\sqrt{75}$. Stærsta ferningstalan sem gengur upp í $75$ er $25 = 5^2$ og þess vegna fæst:

\[\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\cdot\sqrt3 = 5\sqrt3.\]

Skoðum loks $\sqrt{320}$. Stærsta ferningstalan sem gengur upp í $320$ er $64 = 8^2$, svo við fáum:

\[\sqrt{320} = \sqrt{64 \cdot 5} = \sqrt{64} \cdot \sqrt5 = 8\cdot\sqrt5 = 8\sqrt5.\]

Þessi umritun er alltaf sýnd þegar rætur af heilum tölum eru slegnar inn í nýjustu gerðir reiknivéla, eins og lesendur geta staðfest sjálfir með því að slá inn $\sqrt{32}$, $\sqrt{75}$ eða $\sqrt{320}$.

Með umrituninni að ofan er hægt að einfalda summu og mismun tveggja kvaðratróta sem hafa sömu töluna undir rótinni að lokinni umritun. Segjum til dæmis að við viljum finna summuna $\sqrt{32} + \sqrt{50}$. Þá ritum við $\sqrt{32} = 4\sqrt2$ og $\sqrt{50} = 5\sqrt2$ og athugum:

\[\sqrt{32}+\sqrt{50} = 4\sqrt2+5\sqrt2 = (4+5)\sqrt2 = 9\sqrt2.\]

Ef við viljum síðan finna mismuninn $\sqrt{320}-\sqrt{180}$ ritum við $\sqrt{320} = 8\sqrt5$ og $\sqrt{180} = 6\sqrt5$ og athugum:

\[\sqrt{320}-\sqrt{180} = 8 \sqrt5 - 6 \sqrt5 = (8-6) \sqrt5 = 2 \sqrt5.\]

Summa og mismunur tveggja róta, sem hafa ekki sömu töluna undir rótinni að lokinni umritun, verða hins vegar ekki einfölduð frekar. Ef við viljum til dæmis finna summuna $\sqrt{52}+\sqrt{32}$, sem nefnd er í upphaflegu spurningunni, athugum við að $\sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ og $\sqrt{32} = 4\sqrt2$. Við getum þess vegna ritað

\[\sqrt{52}+\sqrt{32}=2\sqrt{13}+4\sqrt2,\]

en ekki er hægt að draga þessar tvær rætur saman og þess vegna verður summan ekki einfölduð frekar.

Skoðum loks mismuninn $\sqrt{21}-\sqrt{7}$, sem einnig er nefndur í upphaflegu spurningunni. Við sjáum að engin ferningstala, önnur en $1$, gengur upp í $21$ eða $7$. Þess vegna er ekki hægt að umrita ræturnar $\sqrt{21}$ eða $\sqrt{7}$ og þar með verður mismunurinn $\sqrt{21}-\sqrt{7}$ ekki einfaldaður frekar. Að vísu mætti hugsa sér að ritað væri

\[\sqrt{21}-\sqrt{7} = \sqrt{7 \cdot 3} - \sqrt{7} = \sqrt{7} \cdot \sqrt{3} - \sqrt{7} = \sqrt{7} \cdot (\sqrt{3}-1),\]

en varla er hægt að segja að þetta form sé einfaldara en hitt.

...