Hvernig reikna reiknivélar kvaðratrætur?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hvernig reikna reiknivélar kvaðratrætur?
Spyrjandi bætir við:

Er til einhver skotheld aðferð til að finna kvaðratrót tölu án vélar?

Til að finna kvaðratrót tölu er algengt að reiknivélar noti eftirfarandi aðferð. Hún byggir á ítrun Newtons sem hefur verið lýst hér á Vísindavefnum. Ef við viljum finna kvaðratrót tölunnar \(R\) þá viljum við finna \(x\) þannig að \[x=\sqrt{R}\] eða \[x^{2}=R\] Þetta jafngildir því að finna fyrir hvaða \(x\) fallið \[f(x)=x^{2}-R\]

verður núll. Þar kemur aðferð Newtons að góðum notum en með henni getum við einmitt fundið núllstöð fallsins. Ítrun Newtons fyrir fallið \(f(x)=x^{2}-R\) gefur okkur \[x_{nýtt}=\frac{1}{2}(x_{gamalt}+\frac{R}{x_{gamalt}})\] Þessa jöfnu notum við þannig:

1. Við byrjum með upphafságiskun. Hún getur verið talan 1, talan \(R\) eða hvaða tala sem er önnur en núll.
2. Næst setjum við upphafságiskunina inn í jöfnuna hér að ofan þar sem stendur \(x_{gamalt}\) og fáum þá út næstu nálgun \(x_{nýtt}\).
3. Þetta er svo endurtekið þannig að nýja gildið er sett inn í formúluna og notað til að finna næsta gildi. Þannig eru ný gildi reiknuð út frá fyrri nálgunum og haldið er áfram þangað til æskilegri nákvæmni hefur verið náð.

Tökum dæmi og finnum kvaðratrótina af tölunni tíu. Nokkuð ljóst er að rótin liggur á milli 3 og 4 þar sem 3² = 9 og 4² = 16. Giskum því á töluna 3,5: \[x_{nýtt}=\frac{1}{2}(3,5+\frac{10}{3,5})=3,1786\]

Þegar haldið er áfram fæst eftirfarandi runa:

x₀: 3,5

x₁: 3,2

x₂: 3,162

x₃: 3,162277660

x₄: 3,16227766016837933

x₅: 3,1622776601683793319988935444327

Athugið að aðeins eru sýndir réttir aukastafir í útreikningunum. Eftir aðeins fimm ítranir höfum við yfir þrjátíu rétta aukastafi! Þessi aðferð er mjög hraðvirk og hentar vel fyrir reiknivélar en einnig er hægt að nota hana til að finna kvaðratrót án aðstoðar vélar þar sem það eina sem þarf til er deiling, margföldun og samlagning. Til eru fleiri aðferðir sem tölvur og reiknivélar nota til að reikna kvaðratrætur og einnig eru til fleiri leiðir til að reikna án vélar, til dæmis er ein aðferð þar sem notuð eru reglustika og hringfari....