Hvað er ítrun Newtons?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hvað er ítrun Newtons?
Ítrun Newtons er leið til að finna rót falls með tölulegum reikningum. Með rót falls \(f(x)\), sem er einnig kölluð núllstöð fallsins, er átt við gildi á \(x\) þannig að fallið verður núll. Tölulegar aðferðir eru nauðsynlegar þegar ekki er hægt að finna lausnir beint en þær eru einnig notaðar þegar tölvuforrit eru látin leysa verkefnið.

Einfalt er að sýna að fallið \[f(x)=x^{2}-4\] hefur ræturnar \(x=-2\) og \(x=2\). En fallið \[f(x)=x^{3}-cos(x)\] hefur enga augljósa núllstöð.

Hér verður því að nota einhvers konar nálgun og er aðferð Newtons ein af nokkrum sem koma að gagni. Þegar henni er beitt þarf fallið sem um ræðir að vera diffranlegt, alla vega á bili kringum rótina. Aðferðin krefst þess einnig að byrjað er með ágiskun á staðsetningu rótarinnar. Köllum þessa ágiskun \(x_{0}\). Ágiskunina er gott að finna með því að skoða graf af fallinu. Í dæminu hér á undan væri heppilegt að reyna að sjá í grófum dráttum hvar gröf fallanna \(x^{3}\) og \(cos(x)\) skerast og nota þann punkt sem upphafságiskun. Aðferð Newtons gefur svo næstu nálgun á lausninni með jöfnunni \[x_{1}=x_{0}-\frac{f(x_{0})}{f'(x_{0})}\] þar sem \(f'(x_{0})\) er afleiða fallsins í \(x_{0}\). Þetta gefur okkur punktinn \(x_{1}\) sem á að vera nær rótinni en upphaflega ágiskunin. Svona er síðan haldið áfram. Hver nálgun er reiknuð út frá þeim nálgunum sem þegar eru komnar. Almennt gildir að þegar n-ta nálgun er fundin fæst sú næsta með \[x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}\]

Þannig fæst runa sem stefnir á rótina. Því fleiri ítranir, því meiri er nákvæmnin, það er að segja til dæmis fjöldi réttra aukastafa.

Ítrun Newtons er mjög fljótvirk aðferð enda er hún það sem kallað er ferningssamleitin. Ekki er þó alltaf hægt að treysta því að aðferðin verki sem skyldi. Setja þarf ákveðnar skorður á fyrstu og aðra afleiðu fallsins til að geta verið viss um að runa nálgananna sé samleitin.

Fallið sem er til athugunar getur haft fleiri en eina rót. Það fer eftir upphafságiskuninni hvaða rót ítrunaraðferðin mun gefa okkur. Þegar ítrun Newtons er notuð á tvinntölufall er hægt að nota þennan eiginleika til að búa til mynd sem kallast broti (e. fractal).

Ef valinn er punktur \(z_{0}\), einhvers staðar í tvinntölusléttunni, þá stefnir punktarunan á ákveðna rót þegar þessi punktur er notaður sem upphafságiskun í aðferð Newtons. Hver rót hefur sín aðdráttarsvæði þar sem punktarunan stefnir á þessa sömu rót eftir nógu margar ítranir frá punkti á svæðinu. Aðdráttarsvæðin hafa hvert sinn lit sem fer eftir því hvaða rót þau tilheyra. Sumar runur stefna þó ekki á neina rót og eru upphafspunktarnir þá á jöðrum aðdráttarsvæðanna. Þeir gefa af sér ósamleitna punktarunu.

Brotinn hér að ofan er fenginn fyrir margliðuna \(p(z)=z^{5}-1\). Þetta er fimmta stigs margliða og birtist það í samhverfunni í myndinni. Margliðan hefur fimm núllstöðvar og eru því notaðir fimm litir.

Brotar eru merkilegt fyrirbæri á mörkum stærðfræði og myndlistar. Meðal þess sem einkennir þá er að ef skoðuð er nærmynd af brota þá koma í ljós alveg jafnmörg smáatriði og þegar hann er skoðaður úr meiri fjarlægð. Brotar tengjast fræðum um ringl (e. chaos).

Mynd: Heimasíða Fractal Explorer....