Hvað er að þessari sönnun á að 1 = -1?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hvað er að þessari sönnun á að 1 = -1?
Áður en við skoðum sönnun spyrjanda á að $1 = -1$ skulum við skoða tvö hugtök sem koma fyrir í sönnuninni: Annars vegar kvaðratrót og hins vegar töluna $i$.

Látum $a$ tákna jákvæða tölu. Kvaðratrótin af $a$ er táknuð með $\sqrt{a}$ og hún ákvarðast af eftirfarandi tveimur eiginleikum:

• $\sqrt{a}$ er jákvæð tala.
• $(\sqrt{a})^2 = a$.

Sem dæmi má nefna að $\sqrt{81} = 9$, vegna þess að $9$ er jákvæð tala og $9^2 = 81$. Einnig er $\sqrt{1,\!5625} = 1,\!25$, vegna þess að $1,\!25$ er jákvæð tala og $(1,\!25)^2 = 1,\!5625$.

Um kvaðratrætur gildir svokölluð rótarregla, sem segir að fyrir allar jákvæðar tölur $a$ og $b$ gildi:

\[\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}.\]

Einfalt mál er að sanna þessa reglu. Tökum fyrst eftir því að $\sqrt{a}$ og $\sqrt{b}$ eru jákvæðar tölur samkvæmt skilgreiningu á kvaðratrót, svo margfeldið $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ er líka jákvæð tala. Athugum síðan að þar sem $(\sqrt{a})^2 = a$ og $(\sqrt{b})^2 = b$ fáum við:

\[(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 \cdot (\sqrt{b})^2 = a \cdot b.\]

Við höfum þá sýnt eftirfarandi:

• $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ er jákvæð tala.
• $(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})^2 = a \cdot b$.

Samkvæmt síðustu efnisgrein vitum við að kvaðratrótin af $a \cdot b$ ákvarðast einmitt af þessum tveimur eiginleikum. Þess vegna er $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ kvaðratrótin af $a \cdot b$, sem er einmitt það sem reglan segir.

Talan $i$ er tvinntala sem hefur þann eiginleika að $i^2 = -1$. Vegna þessa eiginleika er $i$ stundum táknuð með $\sqrt{-1}$. Nánar má lesa um töluna $i$ og um aðrar tvinntölur í svari Þorsteins Vilhjálmssonar og Ögmundar Jónssonar við spurningunni Er mengi rauntalna hlutmengi í mengi tvinntalna? og í svari Gunnars Þórs Magnússonar og Þorsteins Vilhjálmssonar við spurningunni Eru tvinntölurnar til í raun og veru?

Nú getum við skoðað sönnun spyrjanda á að $1 = -1$. Hún er svona:

\[1 = \sqrt{1} = \sqrt{(-1) \cdot (-1)} = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = i \cdot i = i^2 = -1.\]

Villan í sönnuninni kemur í þriðja skrefinu, þar sem sagt er að

\[\sqrt{(-1) \cdot (-1)} = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}.\]

Þetta skref kann að virðast rétt samkvæmt rótarreglunni $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ sem við sönnuðum að ofan. Hins vegar byggðist sú sönnun alfarið á því að tölurnar $a$ og $b$ væru báðar jákvæðar. Þess vegna er ekki hægt að beita reglunni hér.

Það sem „sönnun“ spyrjanda sýnir í raun og veru er að reglan $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ geti ekki verið rétt ef $a$ og $b$ eru neikvæðar tölur, því ef við gerum ráð fyrir að svo sé hefur það í för með sér að $1 = -1$.

...