Hvenær var talan i og tvinntölur uppgötvaðar og til hvers gagnast þær?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hvenær var talan i og tvinntölur uppgötvaðar og til hvers gagnast þær?
Upprunalega spurningarnar hljóðuðu svona:

Hvenær var talan i uppgötvuð og í hvaða tilgangi? Hvenær uppgötvuðu menn tvinntölur og til hvers gagnast þær?

Rauntölur eru knöpp og handhæg aðferð til að setja fram fjölda og stærðir í rituðu máli. Eða hver vildi rita ártal eins og 2014 í orðum dags daglega? Og hver vill rita „ferningsrótin af 2“ þegar hægt er að rita $ { \sqrt{2}}$?

Stundum duga rauntölur ekki til að tjá stærðir. Talan i og samtvinnun hennar við rauntölur í tvinntölur eru dæmi um útvíkkun talnakerfisins.

Alkunna er að annað veldi af rauntölu, hvort sem hún er jákvæð eða neikvæð, er alltaf jákvæð tala. Til dæmis er 5² = 5 · 5 = 25, og (–5)² = (–5) · (–5) = 25. Þess vegna er ekki hægt að draga ferningsrót af neikvæðri tölu og fá út rauntölu, hvorki jákvæða né neikvæða.

Þar kom í sögu talnaritunar að hagkvæmt var að geta talað um ferningsrót af neikvæðum tölum. Þá var ákveðið að tákna ferningsrót af tölunni –1 með i:

$$i= { \sqrt{-1}}$$

Þá er i² = –1 þar sem i stendur fyrir numerus imaginarius, ímynduð tala (e. imaginary number). Talan i var þannig uppfinning, ekki uppgötvun.

Hugmyndir eins og þessi geta komið oft upp og á ýmsum stöðum og tímum. Einn hinna fyrstu til að vinna með ferningsrætur af neikvæðum tölum og nefna þær ímyndaðar tölur var René Descartes (1596–1650). Leonhard Euler (1707–1783) og Carl Friedrich Gauss (1788–1855) urðu til að festa þessar svonefndu ímynduðu tölur í sessi. Descartes, Euler og Gauss teljast einir mestu stærðfræðingar allra tíma.

Til þess að talan i samrýmist talnakerfinu þarf hún að hlíta samlagningu og margföldun. Dæmi um slíkt eru tölurnar 5i, –5i, 4 + i, og 4 – 5i. Slíkar samsettar tölur nefnast tvinntölur (e. complex numbers). Heppilegt hefur til dæmis reynst að nota tvinntölur í rafmagnsverkfræði, sér í lagi við greiningu á rafrásum með riðstraumi, og í ýmsum öðrum tæknigreinum og raungreinum, svo sem rafsegulfræði.

Líta má á talnalínu með rauntölum sem einvítt rúm. Tvinntölur eru oft settar fram sem tvívítt rúm. Margfeldi af tölunni i raðast á línu sem liggur þvert á rauntalnalínuna og nefnast þvertölur. Tvinntölur birtast þá eins og vigrar út frá upphafspunkti.

Norski landmælingamaðurinn Caspar Wessel (1745–1818) var fyrstur manna til að setja tvinntölur fram á þennan rúmfræðilega hátt. Framsetningin vakti nýja hugsun um tvinntölur, og sannfærði stærðfræðinga fljótlega um að ekki þyrfti að hafa áhyggjur af notkun tvinntalna.

Vangaveltur blunduðu þó lengi í hugum fólks. Óvíst er hvort Björn Gunnlaugsson, eini íslenski stærðfræðingurinn á 19. öld, þekkti framsetningu Wessels. Björn sagði í bók sinni Tölvísi (1865) um ímynduðu tölurnar, að þær tákni tilveruleysi stærða þegar þær kæmu fram í reikningum. Menn geti þó látið þær vinna hver aðra upp þegar þær eru innfærðar í reikningsforskriftir, svo að ekkert annað verði eftir nema raunverulegar stærðir. Dæmi um það gæti verið

$$5i \cdot (-4i) = -20i^2 = -20 \cdot (-1) = 20.$$

Björn ritaði í framhaldi af þessu, löngu áður en loftsiglingar urðu að veruleika en voru þó komnar til tals:

Þær [ímynduðu tölurnar] líkjast í stærðfræðinni loftsiglingu í eðlisfræðinni, því hugurinn getur á hinu imaginera loftskipi eins og hafið sig upp frá fastri jörðu, siglt fram og aftur í tilveruleysisins ginnungagapi og horfið svo til jarðarinnar aftur þegar hann vill, og á þann jarðfasta klett, sem honum þóknast (Björn Gunnlaugsson, 1865, bls. 350–351).

Heimildir og mynd:

• Björn Gunnlaugsson (1865). Tölvísi. Reykjavík: Hið íslenska bókmenntafélag.
• Katz, Victor J. (1993). A History of Mathematics. An Introduction. New York: Harper Collins.
• Mynd: Complex Numbers. Mathsisfun.com.

...