Hvað er mengi?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hvað er mengi?
Mengi er safn vel skilgreindra hluta. Hlutirnir sem mynda mengið kallast stök þess og þeir geta verið af hvaða tagi sem er, til dæmis má tala um mengi allra ríkja í Evrópu og mengi allra heilla talna. Ríkin Andorra, Belgía og Króatía eru þá dæmi um stök í fyrra menginu og tölurnar $2$, $-7$ og $33$ eru dæmi um stök í seinna menginu. Óformlega má líta á mengi sem ílát sem inniheldur ákveðna hluti og eru stökin í menginu þá hlutirnir í ílátinu.

Oft eru slaufusvigar notaðir til að tákna mengi og eru þá stök mengisins talin upp innan sviganna og aðskilin með kommu. Til dæmis er $\{1,2,3,4\}$ mengið sem inniheldur stökin $1$, $2$, $3$ og $4$. Að $x$ sé stak í menginu $A$ er almennt táknað með $x \in A$ og að $x$ sé ekki stak í menginu $A$ er táknað með $x \notin A$. Ef $A$ táknar mengið $\{1,2,3,4\}$ gildir til dæmis að $1 \in A$ og $3 \in A$ því $1$ og $3$ eru stök í $A$ en hins vegar er $0 \notin A$ og $7 \notin A$ því hvorki $0$ né $7$ eru stök í $A$.

Tvö mengi $A$ og $B$ eru sögð vera jöfn (það er sama mengið) ef þau hafa sömu stökin og þá er ritað $A = B$. Þessi skilgreining leiðir af sér tvo mikilvæga eiginleika mengjahugtaksins: Í fyrsta lagi skiptir ekki máli í hvaða röð stökin koma fyrir í menginu og í öðru lagi skiptir ekki máli hversu oft eitthvað tiltekið stak kemur fyrir í menginu. Til dæmis eru mengin $\{1,2,3,4\}$ og $\{4,3,2,1\}$ jöfn því bæði hafa stökin $1$, $2$, $3$ og $4$. Mengin $\{1,2,3,4\}$ og $\{1,2,2,3,3,3,4,4,4,4\}$ eru einnig jöfn af sömu ástæðu.

Aðferðin sem notuð er að ofan til að lýsa menginu $\{1,2,3,4\}$, það er að telja upp öll stök þess innan slaufusviga, dugar skammt þegar stökin verða fleiri. Oft fylgja stök mengisins einhverri einfaldri reglu og þá nægir að telja upp nógu mörg stök til að reglan verði ljós ásamt punktalínum sem settar eru í stað stakanna sem vantar í upptalninguna. Til dæmis má rita mengi allra heilla talna milli $1$ og $100$ á forminu

\[\{1,2,3,4,\ldots,100\},\] og mengi allra sléttra talna má rita á forminu

\[\{\ldots,-4,-2,0,2,4,\ldots\}.\]

Algengast er þó að stök mengisins tilheyri einhverju þekktu mengi $A$ og hafi sameiginlegan eiginleika sem lýsa má með opinni yrðingu $p(x)$. Þá má rita mengið sem lausnamengi opnu yrðingarinnar $p(x)$ í þekkta menginu $A$, það er

\[\{x \in A \mid p(x)\}.\]

Til dæmis tilheyra stök mengisins $\{1,2,3,4,\ldots 100\}$ öll mengi náttúrlegra talna og þau eiga það sameiginlegt að vera á milli $1$ og $100$. Þetta mengi má því rita sem lausnamengi opnu yrðingarinnar $p(x)$: „$1 \leq x \leq 100$“ í menginu $\mathbb{N}$, það er

\[\{x \in \mathbb{N} \mid 1 \leq x \leq 100\}.\]

Á sama hátt og ílát getur verið tómt, það er innihaldið engan hlut, getur mengi verið tómt, það er haft ekkert stak. Til er nákvæmlega eitt slíkt mengi, sem kallast tóma mengið og er táknað með $\displaystyle \emptyset$. Það má rita á forminu

\[ \emptyset = \{ \; \}. \]

Mengi sem hefur nákvæmlega eitt stak kallast einstökungur. Til dæmis eru mengin $\{0\}$ og $\{a\}$ einstökungar en $\{0, 1\}$ og $\{a, b, c\}$ eru það ekki.

Mengi $A$ er sagt vera hlutmengi í mengi $B$ ef sérhvert stak í $A$ er líka stak í $B$. Þetta er táknað með $A \subset B$. Til dæmis er mengið $A = \{1,2,5,6\}$ hlutmengi í menginu $B = \{1,2,3,4,5,6\}$, það er $A \subset B$, því sérhvert stak í $A$ er líka stak í $B$.

Ef $A$ er mengi er sérhvert stak í tóma menginu líka stak í $A$, það er $\emptyset \subset A$, því tóma mengið hefur ekkert stak. Einnig gildir augljóslega að sérhvert stak í $A$ er líka stak í $A$, svo $A \subset A$. Tvö mengi $A$ og $B$ eru jöfn ef og aðeins ef $A$ er hlutmengi í $B$ og $B$ er hlutmengi í $A$, það er

\[A = B \quad \Leftrightarrow \quad A \subseteq B \quad \text{og} \quad B \subseteq A.\]

Ef $A$ er hlutmengi í $B$ geta $A$ og $B$ verið sama mengið eins og síðasta dæmið að ofan sýnir. Hins vegar gerist þess oft þörf að útiloka þennan möguleika og það leiðir til eftirfarandi skilgreiningar: Ef $A$ er hlutmengi í $B$ og auk þess eru $A$ og $B$ ekki sama mengið er sagt að $A$ sé eiginlegt hlutmengi í $B$. Þetta er táknað með $A ⊊ B$.

Munurinn á hlutmengi og eiginlegu hlutmengi er sem sagt sá að seinna hugtakið felur í sér meiri upplýsingar en það fyrra: $A \subset B$ segir einungis að sérhvert stak í $A$ sé líka stak í $B$, en $A ⊊ B$ segir auk þess að $A$ og $B$ séu ekki sama mengið.

Til dæmis er mengið $A = \{1,2,5,6\}$ eiginlegt hlutmengi í menginu $B = \{1,2,3,4,5,6\}$, það er $A ⊊ B$, því $A$ er hlutmengi í $B$ og auk þess eru $A$ og $B$ ekki sama mengið. Í þessu dæmi er þess vegna bæði rétt að segja að $A \subset B$ og að $A ⊊ B$, eini munurinn er sá að seinni rithátturinn gefur meiri upplýsingar en sá fyrri.

Myndir:

• Wikimedia Commons - Blank Map of Europe. (Sótt 14. 9. 2016).
• Hlutmengi - hugtakasafn íslenska stærðfræðafélagsins. (Sótt 14. 9. 2016).

---

Þetta svar er fengið úr Hugtakasafni íslenska stærðfræðafélagsins og birt með góðfúslegu leyfi. Textinn hefur lítillega verið lagaður að Vísindavefnum.

...