Hvað eru arabískar tölur og hvernig urðu þær til?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hvað eru arabískar tölur og hvernig urðu þær til?
Spurningin í fullri lengd hljóðar svona:

Hvað getið þið sagt mér um arabískar tölur, það er hver er saga þeirra á heimaslóðum? Hvernig urðu þær til upphaflega?

Arabískar tölur, sem svo eru nefndar, eru ættaðar frá Indlandi. Þær eru oft nefndar indó-arabískar tölur í öðrum tungumálum, til dæmis ensku (e. Hindu-Arabic numeral system). Uppruni tölutáknanna 1, 2 … 9 er talinn vera í Brahmi-ritmálinu í Indlandi en það má rekja að minnsta kosti til miðrar þriðju aldar f.Kr. Tímabilið er kennt við Ashoka keisara sem ríkti frá 269 f.Kr. til 232 f.Kr. Vitað er að tölutáknin voru þekkt í Sýrlandi á 7. öld. Þau tóku að breiðast út með vaxandi veldi múslíma á 8. öld. Um hundrað árum síðar voru þau þekkt á Spáni. Leonardo Pisano Fibonacci (1170–1250) notaði þau í bók sinni Liber abaci árið 1202 en þau tóku ekki að breiðast út í Evrópu fyrr en prentun bóka á pappír hófst um 1400.

Tölutáknin 1, 2 … 9 eiga sér því meira en tveggja árþúsunda langa sögu. Þau hafa þróast í nokkrar áttir í ólíkum menningarsamfélögum. Ritháttur þeirra mun hafa greinst í indverskan, austur-arabískan og vestur-arabískan hátt á tímabilinu frá níundu til elleftu aldar. Nútímaritháttur táknanna á Vesturlöndum er talinn vera vestur-arabískrar ættar.

Talnaritunin

Saga tölutáknanna 1 til 9 er sæmilega þekkt en uppruni sætistalnaritunar með táknunum níu ásamt núlli er óljósari. Kínverjar notuðu margföldunarrithátt talna með grunntölunni tíu svo lengi sem menn vita til. Rithátturinn hefur líklega þróast út frá talnagrind þar sem hver stöng táknaði veldi af tíu: 1, 10, 100, 1000, og svo framvegis. Tákn fyrir veldin af tíu voru þá margfölduð með tölutáknunum fyrir 1 til 9.

Auk tákna fyrir tölurnar 1 til 9 höfðu Indverjar einnig tákn fyrir tugina 10 upp í 90. Stærri tölur voru ritaðar með því að setja saman tákn fyrir 100, 1000, … og tákn fyrir tölurnar 1 til 9. Indverjar notuðu því margföldunarkerfi eins og Kínverjar á fyrstu öldum okkar tímatals.

Um árið 600 e.Kr. hættu Indverjar að nota tákn fyrir hærri tölur en 9 og fóru að nota táknin 1 til 9 til að tákna tölur með þeim hætti sem menn þekkja, sætisrithætti. Þá gefur sæti táknsins í táknaröðinni gildi þess til kynna. Elstu heimildir um það er úr verki frá 662 eftir sýrlenskan prest, Severus. Hann sagði Indverja nota athyglisverða aðferð til að reikna með níu táknum en hann nefndi ekki núll. Annað handrit frá svipuðum tíma sýnir notkun sætiskerfis og punkt til að tákna autt sæti. Ef til vill leit Severus ekki á punktinn sem tölutákn.

Ekki er vitað hvers vegna Indverjar lögðu niður margföldunarritháttinn og tóku upp sætisrithátt. Telja má þó líklegt að það hafi verið fyrir áhrif kínversku talnagrindarinnar sem notuð var við viðskipti á mörkum hindúamenningar og kínversks áhrifasvæðis í Suðaustur-Asíu. Hvernig sem því hefur verið háttað má telja víst að fullþróað sætiskerfi með grunntölunni tíu hafi verið orðið til í Indlandi á áttundu öld.

Útbreiðsla ritháttarins

Indverski talnarithátturinn með sætiskerfi tók smám saman að síast inn í íslamska menningu. Elsta stærðfræðibókin um hann er Kitab al-jam‘val tafrīq bi hisāb al-Hind – Bók um samlagningu og frádrátt með aðferð Indverjanna, rituð um 825 eftir Muhamed ibn-Mūsā al-Khwārizmī (um 780–850). Bókin varð til þess að stuðla mjög að útbreiðslu ritháttarins. Engin handrit eru til af bókinni á arabísku en hana er að finna í nokkrum mismunandi þýðingum á latínu frá tólftu öld. Þar er hringur látinn tákna núll eða autt sæti. Bók al-Khwārizmīs var ekki einungis mikilvæg fyrir íslamska menningu heldur einnig vegna þess að margir Evrópubúar kynntust sætisrithætti talna með grunntölunni tíu fyrst í þýðingum hennar eða afleiddum ritum. Skólabækur voru samdar upp úr bókinni, til dæmis Algorismus Vulgaris eftir Sacrobosco, rituð um 1225, og Carmen de Algorismo eftir franska kanúkann Alexander de Villa Dei frá 1202. Forn íslensk ritgerð, Algorismus, er þýðing Carmen de Algorismo á íslensku. Talið er að þýðingin hafi verið gerð á síðari hluta þrettándu aldar. Ritgerðin Algorismus er varðveitt í Hauksbók, handriti frá fjórtándu öld. Þar eru tölurnar sagðar indverskar: „List þessi heitir Algorismus. Hana fundu fyrst indverskir menn með tíu stöfum er svo eru ritaðir: 0. 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1.“

Heimildir og mynd:

• Finnur Jónsson (ritstjóri) (1892–1896). Algorismus. Í Hauksbók. Udgiven efter de arnamagnæanske Håndskrifter no. 371, 544 og 675, 4° samt forskellige Papirhåndskrifter. Kaupmannahöfn: Det Kongelige Nordiske Oldskrift-Selskab.
• History of the Hindu–Arabic numeral system - Wikipedia, the free encyclopedia.
• Katz, V. J. (1993). A History of Mathematics. An Introduction. New York: HarperCollins College Publishers.
• Kristín Bjarnadóttir (2004). Algorismus - Fornt stærðfræðirit í íslenskum handritum. Netla, veftímarit um uppeldi og menntun.
• Mynd: base-ten number system: Hindu-Arabic numeral development -- Britannica Online for Kids. (Sótt 24. 8. 2015).

...