Hverjir „fundu upp“ π (pí)?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hverjir „fundu upp“ π (pí)?

Talan π (pí) er hlutfallið milli ummáls og þvermáls hrings. Mönnum hefur snemma orðið ljóst að þetta hlutfall er hið sama fyrir alla hringi. Í ritum Evklíðs frá því um 300 fyrir Krist er þessi staðreynd sett fram án sönnunar. Í Biblíunni er talan 3 notuð sem gildi á π: „Og Híram gjörði hafið, og var það steypt af eiri. Það var tíu álnir af barmi og á, kringlótt […] og þrjátíu álna snúra lá um það." (1Kon 7:23) Þetta gildi er sjálfsagt fundið með mælingum á einum eða fleiri hringum og er ágætis nálgun.

En það var hægt að gera betur og nota sem gildi á π hlutfall milli tveggja heiltalna, það er að segja brot, eða heiltölu að viðbættu broti (tugabrot koma seint til sögunnnar). Babýloníumenn (meira en 1000 fyrir Krist) notuðu ýmis gildi, þar á meðal 3 + 1/8. Á Rhind-keflinu egypska frá því um 1650 fyrir Krist er að finna hið vel þekkta hlutfall 22/7 sem gildi á π. Kínverjar þekktu líka hlutföll sem gildi á π.

Einum mesta stærðfræðingi fornaldar, Arkímedesi (287-212 fyrir Krist) tókst að sýna fram á að π liggur á milli talnanna 3 + 10/71 og 3 + 1/7. Þetta gerði Arkímedes á þann veg að hann teiknaði hring með þvermál 1 (og þar með ummál π). Þá innritaði hann reglulegan 96-hyrning í hringinn og reiknaði ummál hans. Að lokum reiknaði hann ummál reglulegs umritaðs 96-hyrnings fyrir sama hring.

Það lá því beint við að menn færu um þetta leyti að velta því fyrir sér hvort π væri brot. Eftir daga Pýþagórasar, sem dó um 500 fyrir Krist, komust menn að því að til voru stærðir sem ekki voru brot. Fræga sönnun er að finna í ritum Evklíðs. Lengd hornalínu í ferningi með hliðarlengd 1 er dæmi um slíka stærð. Þetta má orða á þann veg að ekki er til brot sem margfaldað með sjálfu sér gefur útkomuna 2. Eða með nútímalegra orðalagi: $\sqrt{2}$ er ekki brot.

Það var svo ekki fyrr en undir lok átjándu aldar að mönnum tókst að sýna fram á að π er ekki brot. Raunar tókst mönnum að sýna fram á miklu meira einni öld síðar (1882), nefnilega að π er torræð tala, en tala er torræð ef hún er ekki lausn á neinni jöfnu með heiltölustuðlum. Þar með var einnig sýnt fram á að ógerlegt er að teikna með hringfara og reglustiku ferning með sama flatarmál og gefinn hringur, en það verkefni höfðu menn líka glímt við í meira en tvö þúsund ár. Talan π er að þessu leyti ólík $\sqrt{2}$ sem er lausn á jöfnunni $x^2-2=0$.

Um 1700 var farið að nota gríska bókstafinn π sem tákn fyrir töluna pí og þetta er það tákn sem allir nota í dag. Þá voru tugabrotin líka komin til sögunnar og π var ritað sem tugabrot með svo og svo mörgum aukastöfum. Þetta varð mögulegt eftir að Newton (1642-1727) og Leibniz (1646-1716) höfðu innleitt diffur- og tegurreikninginn. Tangens (hlutfallið milli sínus og kósínus) á sér andhverfu og andhverfuna má setja fram sem röð eða óendanlega summu. Ef sú staðreynd er síðan notuð að tangens af horni sem spannar 1/8 úr hring er 1 fæst formúlan

$$\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\frac{1}{13}-\frac{1}{15}+...$$

Í þessari summu þarf hins vegar að taka mjög marga liði með í reikninginn; til dæmis þarf þúsund liði til að fá þrjá rétta aukastafi. Fljótlega fundu menn summur sem gáfu betri niðurstöðu.

Nýjustu reiknirit hafa gefið enn betri summur fyrir π, til dæmis summu þar sem þúsund fyrstu liðirnir gefa þúsund rétta aukastafi, og með þessum reikniritum og öflugustu tölvum hefur π verið reiknað út með ótrúlegum fjölda aukastafa, 10¹². Þetta hafa menn gert meðal annars til að prófa reikniritin og tölvurnar, en einnig til að forvitnast um aukastafina í tölunni π, eins og það hvort einn aukastafur komi oftar fyrir en annar eða það hvort einhver regla sé í því hvernig aukastafir koma fyrir. Slíkt hefur enn ekki komið í ljós.

Mikinn fróðleik um π er að finna í bók eftir E.W. Weisstein, Concise Encyclopedia of Mathematics. Chapman & Hall/CRC.

Mynd: Digits of pi on black background free image - Pixy.org (Sótt 12.11.2020)...