Hvað getið þið sagt mér um Pýþagóras og framlag hans til fræðanna?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hvað getið þið sagt mér um Pýþagóras og framlag hans til fræðanna?
Margar sögur hafa verið sagðar af gríska stærðfræðingnum Pýþagóras (um 572 - 497 f.Kr.) en tilvist hans er sveipað móðu fyrnskunnar og óvíst um sanngildi sagnanna. Hann var fæddur á Samos, ey utan við vesturströnd Litlu-Asíu sem tilheyrir nú Tyrklandi, en settist að í Króton, grískri borg á Suður-Ítalíu um 530 f.Kr. Grikkir réðu um þær mundir stórum hluta af austanverðri strandlengju Miðjarðarhafs og Svartahafs, sjá mynd 1. Talið er að hann hafi bæði ferðast um Egyptaland og Babýloníu.

Pýþagóras safnaði um sig hóp lærisveina í Króton. Söfnuðurinn var síðar nefndur Pýþagóringar og var bæði trúarregla og skóli. Allar ævisögur Pýþagórasar voru ritaðar löngu eftir daga hans en af þeim má skilja að hann hafi fremur fengist við dulspeki en röksemdafærslu. Engin ritverk sem eignuð eru Pýþagóras eða Pýþagóringum hafa varðveist. Allar upplýsingar um stærðfræðiiðkun þeirra og kenningar eru raktar til mun yngri rithöfunda. Þeirra á meðal eru svonefndir Ný-Pýþagóringar, hópur sem uppi var milli 100 f.Kr. og 300 e.Kr.

Grunnkenning Pýþagóringa var að „allt væri gert úr tölum“, það er að segja að heilar jákvæðar tölur væru undirstaða alheimsins, hvort sem um var að ræða himinhvolfið, hreyfingar himintungla eða tónlist. Tónstigi Pýþagóringa er nokkurs konar undirstaða vestrænnar tónlistar. Þeir tóku eftir því að hljóð, sem tveir strengir í lengdahlutfallinu $2:1$ mynda, hljómuðu vel saman. Samhljómurinn er nefndur áttund og tónarnir mynda fyrsta og áttunda tóninn í tónstiganum. Strengir í lengdahlutfallinu $3:2$ mynduðu fimmund, og fimmta tóninn í tónstiganum, og hlutfallið $4:3$ ferund og fjórða tóninn í átta tóna tónstiga Pýþagórasar.

Þá tengdust tölur stærð horna, ekki síst fyrir þá staðreynd að þríhyrningar, þar sem hlutfallið milli hliðanna er $3:4:5$, hafa rétt horn. Hér er komið dæmi um hina alkunnu reglu sem kennd er við Pýþagóras, þótt nú sé vitað að hún hafi verið þekkt löngu fyrir hans daga.

Upphaf talnakenninga Pýþagóringa var skipting náttúrlegu talnanna í oddatölur og sléttar tölur. Líklegt er að þeir hafi táknað tölur með punktum eða nánar tiltekið með steinvölum. Auðvelt er að sannreyna ýmsar einfaldar reglur með steinvölum eins og það að summa tveggja oddatalna sé slétt tala.

Þeir rannsökuðu einnig ferningstölur og þríhyrningstölur. Eiginleiki þeirra er að hægt er að raða steinvölum með fjölda þeirra upp í ferninga og þríhyrninga:

Dæmi um reglu sem lesa má af mynd af ferningstölu er að summa fyrstu oddatalnanna er ferningstala. Dæmi um það er talan $4 = 1 + 3$, en $4$ er ferningstala af $2$ og mundi nú vera rituð $2^{2}$. Mynda má nýja ferningstölu af fyrri ferningstölu með því að leggja L-laga röð utan á ferninginn. Ef bætt er við $2\cdot2 + 1$ við $4$ kemur fram ferningstalan $9$, sjá mynd 2. Fjöldinn í L-laga röð sem bætist við ferningstölu er alltaf oddatala, tvöföld hliðarlengd fyrri ferningsins að viðbættum einum.

Dæmi:

$2^{2} + 5 = 3^{2}$

$3^{2} + 7 = 4^{2}$

…

$n^{2} + (2n + 1) = (n + 1)^{2}$

þar sem $n$ er hliðarlengd fyrri ferningsins.

Þess vegna er auðvelt að finna næstu ferningstölu, til dæmis við $400 = 20^{2}$:

$20^{2} + 2\cdot20 + 1 = 21^{2}$

eða

$400 + 41 = 441$

Summa fyrstu náttúrlegu talnanna er hins vegar þríhyrningstala þar sem þeim má alltaf raða upp í reglulegan þríhyrning:

$1 = 1$

$1 + 2 = 3$

$1 + 2 + 3 = 6$

$1 + 2 + 3 + 4 = 10$

$1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$

$…$

Sér í lagi munu Pýþagóringar hafa litið á $1 + 2 + 3 + 4 = 10$ sem fullkomna tölu. Summa tveggja samliggjandi þríhyrningstalna er ætíð ferningstala, sjá mynd 4. Til dæmis er $10 + 15 = 25 = 5^{2}$.

Pýþagóringar fengust einnig við að rannsaka það sem nú er nefnt pýþagórískar þrenndir. Það eru þrjár tölur þannig að summa ferningstalna af tveimur þeirra er jöfn ferningstölu hinnar þriðju. Dæmi um það er einmitt þrenndin $3 – 4 – 5$, þar sem $3^{2} + 4^{2} = 5^{2}$. Vitað er þó að slíkar talnaþrenndir voru þekktar meðal Babýloníumanna mörgum öldum fyrr. Sú staðreynd að mismunur tveggja samliggjandi ferningstalna er oddatala hefur getað leitt athygli Pýþagóringa að þessum þrenndum. Þegar oddatalan þessi er jafnframt ferningstala er komin þrennd. Dæmi um það er $5 – 12 – 13$, þar sem $13^{2} – 12^{2} = 25 = 5^{2}$, og $7 – 24 – 25$, þar sem $25^{2} – 24^{2} = 49 = 7^{2}$.

Þegar $n$ er oddatala er almenna reglan $(n, \frac{n^{2}-1}{2}, \frac{n^{2}+1}{2})$. Samsvarandi regla þegar $m$ er slétt tala er $(m, (\frac{m}{2})^{2}-1, (\frac{m}{2})^{2}+1)$.

Pýþagóringar litu á tölur sem grundvöll alheimsins. Þess vegna ætti að vera hægt að tengja allt tölum, einnig mælingar. Til að mæla þurfti einingu. Þegar einingin hafði verið ákveðin fyrir tiltekið viðfangsefni ætti hún að geta gilt óskipt. Þetta var þó ekki raunin, til dæmis við mælingu lengda hliða í þríhyrningi. Langhliðin í rétthyrndum þríhyrningi, þar sem skammhliðarnar tvær við rétta hornið eru jafnlangar, varð til vandræða. Engin eining er til þannig að allar hliðar þríhyrningsins verði heilt margfeldi af henni. Það er orðað svo að skammhliðarnar séu ósammælanlegar við langhliðina. Þetta er talið hafa verið uppgötvað um 430 f.Kr. og varð til þess að breyta hinni grísku heimssýn um að allt byggðist á tölum. Ekki er vitað hvernig þetta uppgötvaðist en ýjað að því í verkum Aristótelesar (384-322 f.Kr.). Hann sagði að sé gert ráð fyrir að hornalína fernings sé sammælanleg hlið hans leiddi það til þeirrar ályktunar að slétt tala sé oddatala.

Hugmyndir Pýþagóringa um tölur höfðu langæ áhrif og urðu til þess að vendilega var skilið á milli talna annars vegar og stærða hins vegar. Til talna heyrðu heilar tölur og hlutföll milli heilla talna, sem urðu síðar að almennum brotum. Stærðir voru notaðar til mælinga.

Heimildir:

• Katz, Victor J. (1993). A History of Mathematics – An Introduction. New York: Harper Collins.
• Grikkland hið forna - Wikipedia, frjálsa alfræðiritið. (Sótt 29.7.2013).

Myndir:

• Mynd 1: Antica Grecia - Wikipedia. (Sótt 30.7.2013).
• Myndir 2, 3 og 4: Katz, Victor J. (1993). A History of Mathematics – An Introduction. New York: Harper Collins.

...