Hver var Niels Henrik Abel og hvert var framlag hans til stærðfræðinnar?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hver var Niels Henrik Abel og hvert var framlag hans til stærðfræðinnar?
Niels Henrik Abel er mesti stærðfræðingur sem Noregur hefur alið og áhrif hans teygðu sig langt út yfir dauða hans. Abel lést aðeins 26 ára gamall og líf hans einkenndist af fátækt. Á stuttum starfsferli háði það Abel mjög að hafa ekki fasta stöðu.

Abel fæddist 5. ágúst 1802 í þorpinu Nedstrand í Noregi og lést 6. apríl 1829. Hann var sonur prestsins Sørens Georgs Abel og konu hans Anne Marie. Abel útskrifaðist frá háskólanum í Christianiu (sem nú er Ósló) árið 1822, en skólinn hét þá Det Kongelige Frederiks Universitet. Haustið 1825 hóf Abel langt ferðalag um Evrópu til að hitta aðra stærðfræðinga, stunda rannsóknir, kynna verk sín og leita að háskólastöðu. Heimsóknir hans til Berlínar og Parísar voru einkum árangursríkar með tilliti til rannsókna, en hins vegar tókst Abel ekki að tryggja sér stöðu þar. Hann kom aftur til Noregs í lok árs 1828, þá fárveikur af berklum. Tveimur dögum eftir andlát hans barst bréf með tilboði um prófessorsstöðu í Berlín frá vini hans August Crelle.

Nú verður gerð grein fyrir helstu rannsóknarverkefnum Abels.

Fimmta stigs jöfnur. Á 16. öld höfðu ítölsku stærðfræðingarnir Cardano (1501-1576), Tartaglia (1500-1557) og Ferrari (1522-1565) fundið almennar formúlur fyrir lausnum þriðja og fjórða stigs jafna. Þessar formúlur eiga það sameiginlegt að einu reikniaðgerðirnar sem þarf að beita í þeim eru annars vegar grunnaðgerðirnar fjórar (samlagning, frádráttur, margföldun og deiling) og hins vegar rótardráttur (ferningsrótar, þriðju rótar og svo framvegis). Næstu þrjár aldirnar reyndu stærðfræðingar að finna slíka formúlu fyrir lausnum fimmta stigs jöfnu, en á 19. öld sýndi Abel að þessi formúla er ekki til, og kom það flestum stærðfræðingum á óvart. Þetta var fyrsta stórvirki Abels og bar það hróður hans víða um lönd. Það var byggt á undirstöðuvinnu ítalska stærðfræðingsins Ruffinis (1765-1822).

Abelskar grúpur. Stærðfræðingarnir Lagrange (1736-1813) og Ruffini höfðu notað grúpur til að rannsaka rætur margliðujafna og Abel notfærði sér einnig grúpur í rannsóknum sínum. Á dögum Abels var ekki hægt að tala um grúpufræði sem fræðigrein, en síðar á öldinni, þegar farið var að rannsaka óhlutbundnar grúpur, var víxlin grúpa (sem er grúpa þar sem víxlreglan $ab=ba$ gildir) kölluð abelsk. Þannig var Abel heiðraður fyrir framlag sitt til jöfnufræða. Sagt er að mesti heiður sem stærðfræðingi geti hlotnast sé að nafn hans sé notað sem lýsingarorð með litlum staf.

Tvíliðuröðin. Newton (1642-1727) og fleiri höfðu velt fyrir sér hvernig hægt væri að alhæfa regluna

$$ (x+y)^m= \sum_{k=0}^m\frac{m!}{k!(m-k)!}x^ky^{m-k}, $$ sem gildir fyrir sérhverja náttúrlega tölu $m$, þannig að $m$ mætti vera neikvæð tala eða brot. Þeir höfðu komist að því að alhæfingin hlyti að vera þessi:

$$ (1+x)^m=1+\sum_{k=1}^\infty \frac{m(m-1)\ldots(m-k+1)}{k!}x^k. $$ Abel gaf fyrstur manna sönnun á þessari formúlu þar sem samleitni er athuguð með þeirri nákvæmni sem telst viðunandi nú á dögum. Abel skoðaði formúluna einnig fyrir gildið $x=1$ (óendanlega röðin í formúlunni er samleitin fyrir $-1 \lt x \lt 1$ en ósamleitin fyrir $x \lt -1$ og $x \gt 1$) og notaði til þess setningu sem nú er kennd við hann og leyfir manni að álykta að ef röðin er samleitin fyrir $x=1$, þá sé summan einmitt $(1+1)^m=2^m$.

Sporger föll. Franski stærðfræðingurinn Legendre (1752-1833) hafði rannsakað sporger heildi í 40 ár en hafði alltaf litið á þau sem ráðgátu á sviði heildunartækni, eins og sagt er frá í svari sama höfundar við spurningunni Hver var Adrien-Marie Legendre og hvert var framlag hans til stærðfræðinnar? Abel sýndi að rétta leiðin til að athuga sporger heildi væri að skrifa

$$ z = \int_c^x R\big(t,\sqrt{P(t)}\,\big)\,dt, $$ og líta á $x$ sem fall af $z$. Hér er $P(t)$ margliða af stigi 3 eða 4 með ólíkar rætur og $R(t,s)$ er rætt fall. Með þessari frægu umhverfingu komu sporger föll fram á sjónarsviðið, en þau umturnuðu sýn stærðfræðinga á sporger heildi og ruddu brautina fyrir rannsóknir þýska stærðfræðingsins Jacobis (1804-1851). Sporger föll eru alhæfing á hornaföllum, en Abel sýndi að þau hafa tvær óháðar tvinntölulotur (á meðan hornaföll hafa eina).

Abel prýddi norska 500 króna seðilinn árin 1978-2002.

Samlagningarreglur fyrir sporger föll. Líkt og gildir um hornaföllin lúta sporger föll ákveðnum samlagningarreglum. Abel leiddi þessar reglur út á nýstárlegan og óvæntan hátt með því að athuga punktana þrjá þar sem línan $ax+by+c=0$ sker sporgera ferilinn $y^2=P(x)$. En Abel gekk miklu lengra með sömu hugmynd. Hann skoðaði almennan algebrulegan feril $C$, ekki endilega sporgeran, og leiddi út skilyrði þess að strjált mengi í $C$ sé núllstöðva- og skautmengi þess sem við köllum nú nærfágað fall á $C$. Þetta er annar helmingur setningarinnar sem þekkt er sem Abel-Jacobi setningin.

Grein Abels um þetta efni er meistaraverk hans og hann hafði vonast til þess að franska vísindaakademían myndi taka við henni til birtingar. Franski stærðfræðingurinn Cauchy (1789-1857), sem fékk það hlutverk að ritrýna greinina, lagði hins vegar handritið til hliðar og týndi því. Þegar það loks fannst var Abel á dánarbeði, en greinin var að endingu gefin út árið 1841. Fyrir verkið hlaut Abel (ásamt Jacobi, sem var mikill keppinautur hans í rannsóknum á sporgerum föllum) verðlaun frönsku akademíunnar, en verðlaunaféð rann til móður hans.

Abelskar víðáttur og abelsk föll. Sporger ferill $y^2=P(x)$, þar sem $P(x)$ er þriðja eða fjórða stigs margliða, er einungis einfaldasta dæmið um svokallaðar fágaðar viðáttur, sem eru einnig grúpur. Abel (og síðar Jacobi) lagði grunninn að rannsóknum á flóknari dæmum af hærri vídd. Þau eru kölluð abelskar víðáttur og nærfáguð föll á þeim eru kölluð abelsk föll. Alla nítjándu öld og fram á þá tuttugustu stunduðu stærðfræðingar látlausar rannsóknir á abelskum föllum.

Vinátta Abels og Crelle. Þegar Abel dvaldist í Berlín stofnaði hann til vinskapar við verkfræðinginn August Crelle (1780-1855), sem hugðist hefja útgáfu stærðfræðitímarits. Úr því varð Journal für die reine und angewandte Mathematik, sem er gefið út enn þann dag í dag og er oft einfaldlega kallað Crelle. Abel studdi útgáfuna heilshugar og sendi flestar niðurstöður sínar til birtingar hjá Crelle. Þetta styrkti mjög orðspor nýja ritsins og Crelle endurgalt Abel með því að leita að háskólastöðu fyrir hann. Crelle tókst að lokum að finna stöðu, en þá var það orðið of seint, eins og sagt var frá í inngangi þessa svars.

Abel á norsku frímerki.

Abelskar tilvitnanir. Spurður að því hvernig hann hefði lært svo mikla stærðfræði svo fljótt svaraði hann: „Með því að lesa eftir meistarana en ekki eftir lærisveinana.“ Hann sagði um Gauss (1777-1855): „hann er líkur refnum sem felur spor sín“, um Legendre: „hann er mjög kurteis en því miður mjög gamall“, og um Cauchy sagði Abel: „hann er klikkaður og verk hans eru rugluð en merkileg“. Um verk fyrirrennara sinna sagði hann: „Í allri stærðfræði er ekki ein einasta óendanleg röð þar sem samleitni hefur verið ótvírætt sönnuð.“

Legendre sagði um Abel í hrifningu: „Hvílíkan haus hefur hann, hinn ungi Norðmaður!“ Hann kallaði jafnframt grein Abels til frönsku akademíunnar „minnismerki varanlegra en brons“ (með orðum rómverska skáldsins Hórasar). Franski stærðfræðingurinn Hermite (1822-1901) sagði: „Hann hefur gefið stærðfræðingum umhugsunarefni sem mun duga þeim í 500 ár.“ Þýski stærðfræðingurinn Felix Klein (1849-1925) bar Abel saman við Mozart; báðir fengu snilligáfu eftir dularfullum leiðum og báðir dóu ungir.

Áhrif. Fyrir daga Abels var stærðfræðigreining torskilin. Menn höfðu óskýrar hugmyndir um fallhugtakið og sannanir fullnægðu ekki nákvæmniskröfum nútímastærðfræði. Verk Abels vörpuðu skýrara ljósi á grunnatriði stærðfræðigreiningar og með þeim hófu stærðfræðingar að gera meiri kröfur til sannana, til dæmis hvað varðaði samleitni óendanlegra raða, sem margir höfðu notað á frekar kærulausan hátt. Verk Abels leiddu einnig til skýrari skilnings á fallhugtakinu. Fyrir daga hans voru einungis sígildu föllin (margliður, veldisvísisföll, hornaföll og andhverfur þeirra) þekkt, með fáum undantekningum (eins og gammafallinu). Abel sýndi að stærðfræðigreining væri endalaus uppspretta nýrra og forvitnilegra falla, sem gáfu stærðfræðingum óþrjótandi rannsóknarefni.

Abelsverðlaunin. Á 200 ára afmæli Abels árið 2002 stofnaði norska ríkisstjórnin sjóð til að veita hin árlegu Abelsverðlaun fyrir framúrskarandi árangur í stærðfræði. Fyrstu Abelsverðlaunin hlaut Jean-Pierre Serre árið 2003 og hafa þau nú verið veitt 9 sinnum. Verðlaunin eru peningaupphæð sem nemur 6 milljónum norskra króna. Ólíkt Fieldsverðlaununum, sem eru hin stóru verðlaunin sem veitt eru fyrir árangur í stærðfræði, eru Abelsverðlaunin ekki einungis veitt ungum stærðfræðingum og þau eru því sambærileg við Nóbelsverðlaunin.

Heimildir og frekara lesefni:

• Ítarlegar upplýsingar um Abel og verk hans má finna á vefsíðu Abelsverðlaunanna.

...