Hvernig vitum við að 1 + 1 = 2 og 2 + 2 = 4?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hvernig vitum við að 1 + 1 = 2 og 2 + 2 = 4?
Oft er það þannig að erfiðast er að færa rök fyrir staðhæfingum sem okkur virðast hvað augljósastar. Flestir notfæra sér þekkingu eins og að $1+1=2$ og $2+2=4$ án nokkurrar umhugsunar í daglegu lífi, en eins og spyrjendur hafa áttað sig á er hægara sagt en gert að útskýra hvers vegna þessar staðhæfingar eru sannar.

Nauðsynlegur undanfari þess að leggja fram og svara spurningu af þessu tagi er að merking hennar sé öllum ljós. Þetta þýðir að áður en við getum fjallað um hvers vegna $1+1=2$ og $2+2=4$ þurfum við að skilgreina hvað átt er við með „$1$“, „$2$“ og „$4$“. Þessi hugtök voru lengi í þróun hjá mannkyninu og það var ekki fyrr en undir lok 19. aldar sem þeim var veitt traust undirstaða í stærðfræði.

Tölurnar urðu til sem aðferð til að lýsa fjölda hluta í umhverfi mannanna. Fyrst um sinn var aðeins talið upp í lítinn fjölda eins og tvo eða þrjá og engin sérstök nöfn voru höfð yfir hærri tölur, heldur var einfaldlega talað um „marga“ eða „ótal“ hluti. Fleiri tölur bættust síðan smátt og smátt við hjá ólíkum þjóðum.

Á þessu stigi var talnahugtakið frumstætt að því leyti að það var algerlega bundið áþreifanlegum hlutum. Aldrei var talað um tölur eins og „tvo“ og „fimm“ sem sjálfstæð hugtök, heldur alltaf „tvö augu“ eða „fimm fingur“. Hjá sumum þjóðum gat sama talan meira að segja haft ólík nöfn eftir því hvernig hluti var verið að telja. Aðrar þjóðir höfðu engin orð sem lýstu tölunum einum og sér. Þær gátu að vísu talað um eitthvað eins og „þrjá menn“, en ekki þannig að eitt aðskilið orð eða orðasamband stæði fyrir töluna „þrjá“.

Þáttaskil urðu í þróun talnahugtaksins þegar mennirnir gerðu sér grein fyrir að tölurnar væri hægt að nota til að bera saman söfn af ólíkum hlutum. Þeir sáu að fjórir menn, fjögur bein og fjórir steinar hefðu ákveðinn sameiginlegan eiginleika sem hægt væri að lýsa með einni og sömu tölunni. Formlega leiðir þessi hugmynd til eftirfarandi skilgreiningar á talnahugtakinu:

Segjum að við höfum tvö söfn af hlutum og að við getum parað hlutina úr fyrra safninu saman við hlutina úr seinna safninu þannig að enginn hlutur gangi af. Þá segjum við að söfnin tvö hafi jafn marga hluti.

Ef hlutir úr tveimur söfnum eru paraðir saman þannig að einn eða fleiri hlutir gangi af úr öðru safninu, þá er það sagt hafa fleiri hluti en hitt safnið, sem er sagt hafa færri hluti.

Skiptum nú öllum mögulegum söfnum af hlutum í hópa þannig að söfnin í sérhverjum hópi hafi jafn marga hluti. Röðum síðan hópunum þannig að alltaf séu fleiri hlutir í næsta hóp á eftir. Við auðkennum nú sérhvern hóp með nákvæmlega einni tölu á eftirfarandi hátt: Fyrsti hópurinn er auðkenndur með tölunni „einn“, næsti með tölunni „tveir“, hópurinn þar á eftir með tölunni „þrír“, og svo framvegis.

Þetta er einmitt sú mynd talnahugtaksins sem við könnumst við úr daglegu lífi.

Nú þegar búið er að skilgreina tölurnar er hægt að velta fyrir sér staðhæfingunum „$1+1=2$“ og „$2+2=4$“. Ef gengið er út frá skilgreiningunni að ofan þýðir „$1+1=2$“ í raun að ef við bætum einum hlut við safn sem hefur fyrir einn hlut, þá verði alls tveir hlutir í safninu. „$2+2=4$“ þýðir að sama skapi að ef við bætum tveimur hlutum við safn sem hefur tvo hluti fyrir, þá verði alls fjórir hlutir í safninu. En hvernig vitum við að þetta sé rétt?

Í fyrsta lagi er hægt að líta á þessar staðreyndir einfaldlega sem tilraunaniðurstöðu. Með því að fylgjast með hlutunum í umhverfi okkar höfum við tekið eftir því að þeir hegða sér alltaf með þeim hætti sem lýst var í síðustu efnisgrein. Ef sameinuð er reynsla okkar og forfeðra okkar má segja að um langt skeið hafi verið framkvæmdar ótal athuganir eða „tilraunir“ á hlutunum í kringum okkur sem allar sýna að $1+1=2$ og $2+2=4$. Við höfum það mikil sönnungargögn að þessar fullyrðingar verða að teljast sannreyndar vísindalega.

Hins vegar mætti líka segja að óþarfi sé að vísa til reynslu okkar eða forfeðra okkar, því við getum fært fullnægjandi rök fyrir því að $1+1=2$ og $2+2=4$ án þess að reiða okkur á athuganir á veruleikanum. Í skilgreiningunni að ofan er öllum mögulegum söfnum af hlutum skipt í hópa eftir fjölda hluta og hópunum er raðað í stærðarröð. Tölurnar eru síðan notaðar til að auðkenna hópana. Ljóst er að ef við höfum ákveðið safn af hlutum og bætum við það einum hlut, þá fellur safnið í næsta hóp á eftir, sem lýst er með næstu tölu. Að bæta einum við tiltekna tölu skilar því næstu tölu á eftir og þar með er $1+1=2$. Að $2+2=4$ sést af því að þegar tveimur hlutum er bætt við tiltekið safn af hlutum, þá fellur það í þarnæsta hóp á eftir sem er lýst með þarnæstu tölu.

Stærðfræðingar myndu sannfærast af hvorugri röksemdafærslunni. Í stærðfræði er staðreynd ekki tekin gild fyrr en öllum hugtökum sem liggja henni að baki hefur verið gefin nákvæm og óhlutstæð merking og sett hefur verið fram sönnun þar sem hvert skref í röksemdafærslunni byggir aðeins á gefnum forsendum og reglum rökfræðinnar. Hvorki skilgreiningin á tölum né rökin tvenn sem kynnt voru að framan uppfylla þessar kröfur.

Til að sanna stærðfræðilega að $1+1=2$ og $2+2=4$ þarf að endurhugsa umfjöllunina að framan frá grunni. Sagt er nánar frá þessu í svari sama höfundar við spurningunni Hvernig er hægt að sanna stærðfræðilega að 1 + 1 = 2 og 2 + 2 = 4?

Heimild:

• Aleksandrov, A.D. (1969). A General View of Mathematics. Í A.D. Aleksandrov, A.N. Kolmogorov & M.A. Larent'ev (ritstj.), Matmematics: Its Content, Methods and Meaning (bls. 1-64). New York: Dover Publications, Inc.

Myndir:

• One Till Five Free Stock Photo - Public Domain Pictures. (Sótt 1.06.2022).
• File:Snake eyes dice.jpg - Wikimedia Commons. (Sótt 1.06.2022).

Upphaflegu spurningarnar voru sem hér segir:

Er 1 + 1 = 2? Er hægt að sanna að 1 + 1 séu ekki 2? (Loftur) Hvað er 1 + 1? (Stefán) Hvernig er hægt að sanna að 2 + 2 = 4 en ekki jafnt og 5? (Valdimar) Er hægt að sanna að 2 + 2 séu í raun og veru 4? (Einar) Rússneski heimspekingurinn Lev Shestof sagði að ef „ósýnileg hönd“ hefði frá örófi alda alltaf bætt ósýnilegum 1 inn í útreikninginn þá myndu stærðfræðingar (og aðrir) halda að 2 + 2 sé alltaf það sama og 5. Hvað er til í þessari skoðun? (Róbert) Af hverju er 1 + 1 + 1 = 3? (N.N.)

---

Þetta svar var upprunalega skrifað árið 2011, þegar höfundur var starfsmaður Vísindavefsins....