Hver var Sophus Lie og hvert var framlag hans til stærðfræðinnar?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hver var Sophus Lie og hvert var framlag hans til stærðfræðinnar?
Niðurstaða óformlegrar og óvísindalegrar könnunar, sem höfundur þessa svars framkvæmdi á gagnabanka Ameríska stærðfræðafélagsins, er að Norðmaðurinn Sophus Lie (1842-1899) sé áhrifamesti stærðfræðingur sem uppi hefur verið. Gagnabankinn geymir upplýsingar um öll rannsóknarrit í stærðfræði sem komið hafa út á alþjóðlegum vettvangi og um hvert rit hefur sérfræðingur á viðkomandi sviði skrifað stuttan útdrátt. Þegar nöfn nokkurra þekktra stærðfræðinga voru slegin inn í leitarvél gagnagrunnsins skilaði nafn Lies flestum niðurstöðum.

Lie fæddist árið 1842 í Nordfjordeid í Vestur-Noregi. Hann sótti menntaskóla í Ósló (sem þá hét Christiania) og fór síðan í framhaldsnám við Háskólann í Ósló, þar sem hann lauk prófi í stærðfræði og raunvísindum árið 1865. Lie virðist ekki hafa sýnt stærðfræði sérstakan áhuga meðan á námi stóð. Hann útskýrir sjálfur í bréfi rituðu mörgum árum síðar hvað varð til þess að hann sneri sér að stærðfræði: „Þá, þegar ég var 26 ára, uppgötvaði ég sköpunarmátt minn.“ Lie lét sjálfur prenta fyrstu stærðfræðiritgerð sína snemma árs 1869, en ritgerðin var síðar tekin til birtingar í virtu þýsku stærðfræðitímariti. Vegna þessa árangurs fékk Lie styrk til ársdvalar erlendis til frekara náms. Hann hélt til Berlínar sem var, ásamt París, höfuðborg stærðfræðinnar á þessum tíma. Þar var Lie svo heppinn að kynnast „sálufélaga“ sínum í fræðunum, sem var ungur þýskur stærðfræðingur að nafni Felix Klein (1849-1925). Báðir höfðu þeir sérstakan áhuga á rúmfræði og skrifuðu saman fjórar ritgerðir um rúmfræðileg viðfangsefni.

Þegar Lie sneri aftur til Óslóar hlaut hann styrk til að vinna að doktorsritgerð, sem hann lauk í júní 1871. Í þá tíð voru Norðmenn og Svíar í ríkjasambandi við litla hrifningu flestra Norðmanna. Því hreyfði það við þjóðernisstolti þeirra þegar Lie sótti um prófessorsstöðu við Háskólann í Lundi. Norðmenn brugðust skjótt við með því að stofna prófessorsembætti í Ósló sérstaklega handa Lie. Hann starfaði sem prófessor við Háskólann í Ósló fram til ársins 1886. Á þessum árum kvæntist hann og eignaðist þrjú börn.

Lie hafði ógrynni djúpra og mikilvægra stærðfræðihugtaka í kollinum, en gekk erfiðlega að koma þeim frá sér á skiljanlegan hátt og fannst hann vera faglega einangraður í Ósló. Klein leysti þennan vanda með því að senda hinn unga þýska stærðfræðing Friedrich Engel (1861-1941) til Lies. Hugmyndin var að Engel myndi aðstoða Lie við að setja fram stærðfræðihugmyndir sínar. Gerhard Kowalewski, nemandi Engels og Lies, segir í riti sem gefið var út í tilefni sjötugsafmælis Engels:

Lie hefði aldrei getað lokið slíku verki sjálfur. Hann hefði drukknað í þeim hafsjó hugmynda sem fyllti höfuð hans á þessum tíma. Engel tókst að koma skipulagi á ringulreiðina.

Klein þáði embætti við Háskólann í Göttingen árið 1885, en fram að því hafði hann verið prófessor við Háskólann í Leipzig. Klein beitti áhrifum sínum til að tryggja að Lie fengi gamla embættið sitt í Leipzig og flutti hann þangað sama ár. Engel vann líka við Háskólann í Leipzig og þeir Lie gátu þess vegna haldið áfram samvinnu sinni. Afraksturinn var þriggja binda verk, Theorie der Transformation Gruppen, þar sem ævistarf Lies er tekið saman. Fyrsta bindið kom út árið 1888, það næsta 1890 og það síðasta 1893. Við útgáfu þessa mikla verks urðu hugmyndir Lies aðgengilegar öðrum og áhrif hans og viðurkenning í stærðfræðiheiminum jukust til muna.

Um þetta leyti fór heilsu Lies að hraka og jafnframt lenti hann illilega upp á kant við flesta þýska kollega sína, sérstaklega Engel og Klein. Löngum hefur verið skoðun flestra að veikindi Lies og skapgerð hafi átt sök á þessum deilum, en nýjar rannsóknir benda til að málið sé ekki svo einfalt. Þegar veikindin ágerðust og Lie fannst hann vera utanveltu í þýsku samfélagi jókst heimþrá hans og 1898 flutti hann aftur til Óslóar. Lie lést úr illkynja blóðleysi (e. pernicious anaemia) þann 18. febrúar 1899.

Lie hefði sjálfur sagst vera rúmfræðingur, en hins vegar var grúpuhugtakið í algebru þungamiðjan í ævistarfi hans og hann áleit fræðin um afleiðujöfnur (e. differential equations), bæði venjulegar afleiðujöfnur og hlutafleiðujöfnur, vera mikilvægustu grein stærðfræðinnar. Grúpa er mengi með einni reikniaðgerð sem uppfyllir ákveðin skilyrði. Grúpur eru afar mikilvægar í stærðfræði vegna þess að þær eru notaðar til að lýsa og meðhöndla samhverfur. Grunnsamhverfurnar í venjulegri rúmfræði í sléttu eru hliðranir, snúningar og speglanir. Klein sagði í þekktu riti, sem oft er kallað Erlangen-prógrammið, að rúmfræði snerist um að skilja þá eiginleika rúmsins sem væru óbreyttir undir samhverfum þess. Gera má ráð fyrir að þessi sýn Kleins hafi mótast í samræðum hans við Lie.

Franski stærðfræðingurinn Évariste Galois (1811-1832) innleiddi grúpuhugtakið þegar hann notaði grúpur til skoða rætur margliða. Lie vildi nota grúpur við athuganir á lausnum afleiðujafna líkt og Galois hafði notað grúpur til að skoða rætur margliða.

Lie fékkst við það sem hann kallaði ummyndunargrúpur eða samfelldar grúpur. Þessar grúpur notaði hann til að skoða rúmfræðilegar samhverfur og lausnir afleiðujafna, en hann rannsakaði einnig grúpuna sjálfa sem rúmfræðilegt hugtak. Nú á dögum eru grúpur af því tagi sem Lie fékkst við einfaldlega kallaðar Lie-grúpur. Lie-grúpa hefur alla algebrulega eiginleika grúpu, en hún er einnig það sem kallast víðátta, sem er rúmfræðilegt hugtak (flötur í þrívíðu rúmi er dæmi um víðáttu). Jafnframt er reikniaðgerðin í Lie-grúpu tengd rúmfræðinni með skilyrðum sem koma úr stærðfræðigreiningu.

Áhrif hugmynda Lies skýrast ekki síst af því að í þeim sameinar hann þrjár höfuðgreinar stærðfræði: Algebru, rúmfræði og stærðfræðigreiningu. Í gagnabanka Ameríska stærðfræðafélagsins er minnst á Lie-grúpur í færslum fyrir 24.000 rannsóknarrit. Lie skilgreindi einnig það sem hann kallaði örsmæðagrúpur, en tengslin milli Lie-grúpu og örsmæðagrúpu hennar eru svipuð og tengsl flatar við snertisléttu. Nú á dögum eru örsmæðagrúpurnar kallaðar Lie-algebrur (þær eru ekki grúpur í nútímaskilningi orðsins) og á þær er minnst í tengslum við tæplega 29.000 rannsóknarrit. Gagnabanki Ameríska stærðfræðafélagsins nær þó ekki utan um heildaráhrif Lies í vísindum, því Lie-grúpur og Lie-algebrur eru einnig mikilvægt hjálpartæki í nútíma eðlisfræði.

Friedrich Engel sagði svo í eftirmælum sínum um Lie:

Ef hæfileikinn til uppgötvana er rétti mælikvarðinn fyrir stærðfræðing verður að telja Sophus Lie meðal fremstu stærðfræðinga allra tíma. Aðeins sárafáir stærðfræðingar hafa opnað eins stór svið fyrir rannsóknir í stærðfræði og skapað eins ríkulegar og víðfeðmar aðferðir og hann.

Annar samstarfsmaður Lies, Eduard Study, skrifaði 25 árum eftir andlát hans: „Sophus Lie var sjálfmenntaður og því fylgja gallar, en hann var einn af allra snjöllustu stærðfræðingum sem uppi hafa verið.“

Myndir:

• Sophus Lie: Wikipedia. Sótt 9.6.2011.
• Hliðrun, snúningur og speglun: Stæ.is. Sótt 9.6.2011. Birt með góðfúslegu leyfi Íslenska stærðfræðafélagsins.

...