Vísindavefurinn: Hver er stærsta þekkta frumtalan?

Sendu inn spurningu

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

Hlusta

Frumtölur eru þær náttúrlegu tölur sem eru aðeins deilanlegar með 1 og sjálfri sér. Fyrstu frumtölurnar eru 2, 3, 5, 7 og 11. Þegar þetta er skrifað er stærsta þekkta frumtalan talan

2^32.582.657 - 1

og til að skrifa hana út í tugakerfinu þarf tæpa 10 milljón tölustafi. Það var staðfest að þessi tala væri frumtala þann 11. september 2006, og hún hefur því haldið titlinum í tæp tvö ár. Það voru samtök sem heita The Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) sem staðfestu þetta. Þessi samtök helga sig leitinni að svokölluðum Mersenne-frumtölum með því að nýta krafta heimilistölva sem tengjast saman gegnum netið.

Mersenne-tölur eru tölur sem má skrifa á forminu M_n = 2ⁿ - 1, þar sem n er náttúrleg tala. Mersenne-frumtölur eru svo þær Mersenne-tölur sem eru frumtölur. Fljótlegt er að sjá að ef n og m eru náttúrlegar tölur og ef p = nm, þá gildir að:

M_p = 2^nm-1 = (2ⁿ-1)(1 + 2ⁿ + 2²ⁿ + ... + 2^(m-1)n)

Mersenne-tala M_p getur því aðeins verið frumtala ef p er frumtala. Franski stærðfræðingurinn Marin Mersenne (1588 - 1648), sem rannsakaði þessar tölur og tók saman lista yfir nokkrar þær fyrstu, gat sér til að ef p væri frumtala væri M_p alltaf frumtala. Þetta er hins vegar rangt, eins og sést til dæmis með því að athuga að:

M₁₁ = 2¹¹ - 1 = 2047 = 23 * 89

Í dag er ekki vitað hvort til séu óendanlega margar Mersenne-frumtölur.

Marin Mersenne.

Frá árinu 1951 hefur metið um stærstu þekktu frumtöluna verið slegið 31 sinni. Þar af hefur það 29 sinnum verið Mersenne-frumtala sem bætti metið. Skýringin á þessu er að það er almennt erfitt að ákvarða hvort tiltekin tala sé frumtala eða ekki, því frumtalnapróf eru tímafrek og tölurnar sem um ræðir eru venjulega mjög stórar. Það er aftur á móti til frekar einfalt próf til að skera úr um hvort Mersenne-tala sé frumtala eða ekki. Það heitir Lucas-Lehmer prófið, og það segir að Mersenne-tala M_n sé frumtala þá og því aðeins að hún gangi upp í tölunni S_n-2, þar sem tölurnar S_n eru skilgreindar með endurkvæmnu rununni

S_n = S_n-1² - 2, og S₀ = 4.

Allir Vesturlandabúar nota frumtölur reglulega hvort sem þeir átta sig á því eða ekki. Þær koma til dæmis við sögu í dulkóðun persónulegra upplýsinga, svo sem kennitalna eða kortanúmera, sem eru gefin upp við ýmis viðskipti. Það er því mikilvægt fyrir nútíma samfélag að þekkja og kunna skila á mörgum ólíkum frumtölum. Þær frumtölur sem eru notaðar við þessa dulkóðun eru þó frekar litlar miðað við stærstu þekktu frumtölurnar, það þarf venjulega aðeins nokkur hundruð tölustafi til að skrifa þær út. Þeir sem leita að stærri og stærri frumtölum gera það því frekar fyrir áskorunina og svo frægðina og verðlaunin sem fylgja því að slá metið um stærstu frumtöluna, en fyrir fyrstu frumtöluna með yfir 10 milljón stafi fást 100.000 dollara verðlaun.

Ef einhverjum lesendum Vísindavefsins langar að taka þátt í leitinni geta þeir það gegnum heimasíðu GIMPS.

Frekara efni á Vísindavefnum og af netinu:

Hver er hæsta frumtalan? eftir Þorstein Vilhjálmsson

Til hvers notum við frumtölur? eftir Rögnvald G. Möller

Ég veit að tölur geta orðið óendanlega stórar en hver er stærsta tala sem hefur verið gefið sérstakt nafn? eftir MBS

Hvers vegna notum við sætiskerfi og hvaða kosti hefur það umfram önnur talnakerfi? eftir Krístínu Bjarnadóttur

Heimildir og mynd:

Stærsta þekkta frumtalan á Wikipedia.

Mersenne frumtölur á Wikipedia.

Chris K. Caldwell. Stærstu þekktu frumtölurnar í áranna rás. Sótt 18.06.2008.

Mynd fengin af Wikimedia Commons.

Senda grein til vinar