Svarið er að hæsta frumtalan er ekki til og frumtölur eru óendanlega margar.
Frumtölur eða prímtölur (prime numbers) eru tölur sem engar aðrar heilar tölur ganga upp í en 1 og talan sjálf. Þær er með öðrum orðum ekki hægt að skrifa sem margfeldi af tveimur eða fleiri öðrum tölum. Þannig eru bæði $2$ og $3$ frumtölur en $4$ er ekki frumtala því að skrifa má $4 = 2\cdot2$. Talan $5$ er frumtala en ekki $6$, og svo framvegis. Frumtölur verða strjálli þegar við förum ofar í talnastiganum og því hafa menn oft velt fyrir sér hvort þeim séu takmörk sett, til dæmis með því að þær væru aðeins endanlega margar.
Hægt er að sanna að fjöldi frumtalna sé ótakmarkaður eða óendanlegur. Sönnun á þessu er til dæmis að finna hjá forngríska stærðfræðingnum Evklíð sem var uppi um 300 fyrir Krist og starfaði í Alexandríu. Sönnunina má setja fram sem hér segir:
Hugsum okkur að $p_n$ sé stærsta frumtalan sem við þekkjum og $p_1$, $p_2$,...,$p_n$ sé röð allra frumtalna upp í $p_n$. Við myndum þá töluna
$$P_n=p_1\cdot p_2\cdot...\cdot p_n+1$$ Þegar við deilum nú með einhverri af frumtölunum úr röðinni í þessa tölu, þá gengur talan upp í fyrri liðnum á hægri hlið jöfnunnar og eftir stendur afgangurinn eða leifin 1. Deilingin gengur því aldrei upp. Hér eru því tveir kostir:
$P_n$ er sjálf frumtala
Til er frumtala $P_m$ sem gengur upp í $P_n$. En samkvæmt því sem áður er sagt hlýtur $P_m$ þá að vera stærri en $p_n$.
Hvor kosturinn sem reynist eiga við í hverju tilviki, þá höfum við sýnt að alltaf er til frumtala stærri en tiltekna frumtalan $p_n$, hvernig sem við völdum hana í upphafi.
Þetta merkir að ekki er til nein stærsta frumtala og að frumtölur eru óendanlega margar.
Heimild:
[Evklíð] The thirteen books of Euclid´s Elements, transl. and ed. Thomas L. Heath. New York: Dover. Vol. 2, bls. 412-413.
Við höfum fengið eftirfarandi bréf frá áhugasömum lesanda um efni svarsins:
Góðan og blessaðan daginn!
Þar sem ég er óþolandi afskiptasamur þá langar mig til að bæta ögn við ágætt svar Þorsteins við spurningunni um frumtölur. Nefnilega því að stærsta þekkta frumtalan um þessar mundir er:
26972593-1,
tala með 2098960 stafi (digits). Mér finnst þetta svo guðdómlega flott tala að mér finnst að hún ætti að fylgja með svarinu. Til að fólk átti sig á stærð hennar mætti ef til vill geta þess að ef hún er skrifuð í rúður, eins og á venjulegum rúðustrikuðum pappír, einn stafur í hverja rúðu og engin bil eða kommur til að auðvelda lestur, þá yrði runan tíu og hálfur kílómetri!
Nánar um frumtölur og eilífa leit að þeim:
http://www.utm.edu/research/primes/
Bestu kveðjur, og haf þökk fyrir afar skemmtilegan vef.
Bergþór Jónsson
Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.
Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar
um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að
svara öllum spurningum.
Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að
svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki
nægileg deili á sér.
Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.
Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!
Sólin
Rís 05:19 • sest 21:35
Tunglið
Rís 25:18 • Sest 04:56
Flóð
Árdegis: 07:07 • Síðdegis: 19:24
Fjara
Árdegis: 01:08 • Síðdegis: 13:14
