Senda inn spurningu
Sólin Sólin Rís 05:43 • sest 21:13 í Reykjavík
Tunglið Tunglið Rís 13:37 • Sest 06:11 í Reykjavík
Flóð Flóð Árdegis: 02:59 • Síðdegis: 15:47 í Reykjavík
Fjaran Fjara Árdegis: 09:39 • Síðdegis: 21:50 í Reykjavík
Visit the English version

Flokkun:

Náttúruvísindi og verkfræði Stærðfræði

Til hvers notum við frumtölur?

Rögnvaldur G. Möller

Frumtölur eru aðalviðfangsefni heillar stærðfræðigreinar sem kallast talnafræði. En í öllum greinum stærðfræði og í hagnýtingum á stærðfræði þar sem þarf að nota náttúrlegar tölur að einhverju marki má búast við að hugtakið frumtala stingi upp kollinum fyrr eða síðar.

Náttúrleg tala kallast frumtala ef einu tölurnar sem ganga upp í henni eru 1 og talan sjálf.

Frumtölurnar sem eru minni en 100 eru:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Skoða má frumtölurnar sem byggingarblokkir náttúrlegra talna. Um þetta fjallar gömul regla sem segir að sérhverja náttúrlega tölu megi rita á einn og aðeins einn hátt sem margfeldi frumtalna, burtséð frá röð þátta. Til dæmis er 6 = 2 · 3 og 294 = 2 · 3 · 7 · 7 og þetta eru einu leiðirnar til að rita tölurnar 6 og 294 sem margfeldi frumtalna (og þá er undanskilið að hægt er að breyta röð þátta og rita 294 = 7 · 3 · 2 · 7).

Einfalt dæmi þar sem við nýtum okkur þennan eiginleika er eftirfarandi þraut: Við fáum í hendurnar 143 eins ferninga með hliðarlengd 1 cm. Við eigum að þekja með þeim rétthyrning. Hvernig getur þessi rétthyrningur verið í laginu? Jú, ef j táknar aðra hliðarlengdina og k táknar hina þá er er j · k fjöldi ferninga sem þarf til að þekja rétthyrninginn. Svo að j · k = 143. Ef við ritum nú 143 sem margfeldi frumtalna fæst að 143 = 11 · 13. Eina leiðin til að rita 143 sem margfeldi heilla talna er að rita 1 · 143 eða 11 · 13 (þetta er afleiðing af reglunni að sérhverja tölu megi skrifa á einn og aðeins einn hátt sem margfeldi frumtalna, burtséð frá röð, og þarna kemur sér vel að frumtölurnar eru einmitt tvær í þessu tilfelli). Þá vitum við að rétthyrningurinn er annað hvort þannig að hliðarlengdirnar eru 1 cm og 143 cm eða hliðarlengdirnar eru 11 cm og 13 cm.

Hugsum okkur stærðfræðiverkefni sem snýst um n hluti af einhverju tagi. Ef n er ekki frumtala þá má rita n = p1 · p2 ··· pn þar sem p1, p2, ..., pn eru frumtölur. Stundum endurspeglast þáttun n í frumtölur í verkefninu sjálfu þannig að verkefnið með n hlutum er „sett saman“ úr verkefnum með p1, p2, ..., pn hlutum. Verkefni þar sem fjöldi hluta er frumtala er aftur á móti ekki hægt að kljúfa upp í minni verkefni. Þetta er mjög gróf lýsing og það er ekki auðvelt að finna einfalt en samt ófáfengilegt dæmi þar sem þessi aðferð virkar. Þessi hugmynd er samt algeng ástæða þess að frumtölur koma upp í stærðfræðiverkefnum.


Frumtölur koma við sögu þegar menn kaupa sér tónlist eða myndir á iTunes.

Á síðustu árum hafa líka fundist bein not fyrir frumtölur sem við nýtum okkur á hverjum degi. Þegar við notum heimabankann okkar verður að vera tryggt að einhver sem fylgist með gögnunum sem fara á milli tölvunnar í bankanum og tölvunnar okkar geti ekki komist að lykilorðinu. Þetta er gert með því að nota frumtölur og talnafræði á sniðugan hátt. Allir fá að vita hvernig á að taka gögn og dulkóða þau. En þó menn þekki aðferðina sem notuð er til að búa til dulkóðann þá geta menn ekki lesið úr gögnunum. Ef ekki væru til slíkar öruggar aðferðir til að senda gögn á milli tölva er ólíklegt að netviðskipti væru jafn umfangsmikil og þau eru. Heimabankar, iTunes, Amazon.com og svo framvegis væru hugsanlega ekki til.

Frá örófi alda hafa frumtölurnar heillað mannkynið. Í bókum Evklíðs er sönnun á því að frumtölurnar séu óendanlega margar og um það má lesa í svari Þorsteins Vilhjálmssonar við spurningunni Hver er hæsta frumtalan?. Þó að Evklíð hafi sannað að frumtölurnar séu óendanlega margar þá er eftir spurningin um hve margar fumtölur eru minni en gefin tala N. Frumtalnasetningin fjallar um þessa spurningu en um setninguna má lesa í svari Ragnars Sigurðssonar við spurningunni Hefur tilgáta Riemanns verið sönnuð?

Menn hafa líka rýnt í lista yfir „litlar“ frumtölur og reynt að sjá eitthvert munstur. Til dæmis er talað um „tvíburafrumtölur“ ef tölurnar p og p + 2 eru báðar frumtölur. Dæmi um par tvíburafrumtalna eru tölurnar 17 og 19, tölurnar 881 og 883 og tölurnar 2003663613 · 2195000 – 1 og 2003663613 · 2195000 + 1 sem eru stærsta tvíburafrumtalnapar sem er þekkt þegar þetta er ritað (sjá hér). Tvíburafrumtalnatilgátan segir að til séu óendanlega mörg pör af tvíburafrumtölum. Þessi tilgáta er enn ósönnuð en stærðfræðingar trúa að þeim hafi miðað nokkuð áleiðis á síðust árum. Önnur spurning tengd þessari er spurningin um jafnmunarunur frumtalna. Er hægt að finna n frumtölur p1 < p2 < . . . < pn þannig að mismunurinn á nágrannatölum í röðinni, pi+1 – pi er alltaf sama talan? Svarið við þessari spurningu er „já“, þetta er alltaf hægt, sama hvaða tala n er. Þetta var sannað af Ben Green og Terrence Tao og sönnun þeirra kom nýlega út í tímaritinu Annals of Mathematics, sjá í greininni The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions (pdf-snið, 481 KB).

Önnur þekkt tilgáta um frumtölur er Goldbach-tilgátan sem er sú staðhæfing að sérhverja slétta tölu stærri en 2 megi skrifa sem summu tveggja frumtalna. Um Goldbach-tilgátuna má lesa í svari Gunnars Þórs Magnússonar við spurningunni Getið þið sannað Goldbach-tilgátuna?

Dæmin hér að ofan eru lýsandi fyrir hvers vegna frumtölurnar eru svo heillandi. Spurningarnar sjálfar eru einfaldar og auðskildar, en jafnframt feikilega erfiðar. Þær eru líka skemmtilegar að því leyti að það má glíma við þær á ýmsum stigum. Það má skoða þessar spurningar í stærðfræðitímum í grunnskólum. Það má nota tölvur til að reikna og risastóra frumtalnaparið hér á undan er árangur samvinnu fjölmargra áhugamanna og áhugatölva um allan heim. Svo má fást við þessar spurningar á því plani sem Green og Tao gera þar sem háþróaðasta stærðfræði er notuð. Ef mönnum tekst að leysa úr einhverri af þessum spurningum mætti helst líkja því við það afrek að klífa Everestfjall. Í staðinn fyrir líkamlega áreynslu kemur vitsmunaleg áreynsla en kröfurnar um úthald og seiglu eru jafnvel meiri í glímunni við stærðfræðiverkefnin og kannski eru þeir færri sem hafa það atgervi sem þarf til að ná árangri. Lausnir stærðfræðiverkefna í líkingu við þau sem minnst er á hér að framan ætti að skoða sem afrek og sigra mannkynsins og mannsandans engu síður en þá atburði þegar Everestfjall var fyrst klifið eða þegar maður steig fyrst fæti á tunglið.

Mynd:

Höfundur

Rögnvaldur G. Möller

Rögnvaldur G. Möller

prófessor í stærðfræði við HÍ

Útgáfudagur

16.4.2008

Spyrjandi

Anna Jónína Valgeirsdóttir, f. 1994
Dagur Ingi Sigursveinsson, f. 1994
Salómon Gunnar Erlendsson, f. 1994
Hólmfríður Brynja Heimisdóttir, f. 1994

Efnisorð

Tilvísun

Rögnvaldur G. Möller. „Til hvers notum við frumtölur?“ Vísindavefurinn, 16. apríl 2008. Sótt 18. apríl 2024. http://visindavefur.is/svar.php?id=7351.

Rögnvaldur G. Möller. (2008, 16. apríl). Til hvers notum við frumtölur? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=7351

Rögnvaldur G. Möller. „Til hvers notum við frumtölur?“ Vísindavefurinn. 16. apr. 2008. Vefsíða. 18. apr. 2024. <http://visindavefur.is/svar.php?id=7351>.

Chicago | APA | MLA

Þessi síða notar vafrakökur Nánari upplýsingar

Ég samþykki
Spyrja

Sendu inn spurningu LeiðbeiningarTil baka

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=

Senda grein til vinar

=

Til hvers notum við frumtölur?
Frumtölur eru aðalviðfangsefni heillar stærðfræðigreinar sem kallast talnafræði. En í öllum greinum stærðfræði og í hagnýtingum á stærðfræði þar sem þarf að nota náttúrlegar tölur að einhverju marki má búast við að hugtakið frumtala stingi upp kollinum fyrr eða síðar.

Náttúrleg tala kallast frumtala ef einu tölurnar sem ganga upp í henni eru 1 og talan sjálf.

Frumtölurnar sem eru minni en 100 eru:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Skoða má frumtölurnar sem byggingarblokkir náttúrlegra talna. Um þetta fjallar gömul regla sem segir að sérhverja náttúrlega tölu megi rita á einn og aðeins einn hátt sem margfeldi frumtalna, burtséð frá röð þátta. Til dæmis er 6 = 2 · 3 og 294 = 2 · 3 · 7 · 7 og þetta eru einu leiðirnar til að rita tölurnar 6 og 294 sem margfeldi frumtalna (og þá er undanskilið að hægt er að breyta röð þátta og rita 294 = 7 · 3 · 2 · 7).

Einfalt dæmi þar sem við nýtum okkur þennan eiginleika er eftirfarandi þraut: Við fáum í hendurnar 143 eins ferninga með hliðarlengd 1 cm. Við eigum að þekja með þeim rétthyrning. Hvernig getur þessi rétthyrningur verið í laginu? Jú, ef j táknar aðra hliðarlengdina og k táknar hina þá er er j · k fjöldi ferninga sem þarf til að þekja rétthyrninginn. Svo að j · k = 143. Ef við ritum nú 143 sem margfeldi frumtalna fæst að 143 = 11 · 13. Eina leiðin til að rita 143 sem margfeldi heilla talna er að rita 1 · 143 eða 11 · 13 (þetta er afleiðing af reglunni að sérhverja tölu megi skrifa á einn og aðeins einn hátt sem margfeldi frumtalna, burtséð frá röð, og þarna kemur sér vel að frumtölurnar eru einmitt tvær í þessu tilfelli). Þá vitum við að rétthyrningurinn er annað hvort þannig að hliðarlengdirnar eru 1 cm og 143 cm eða hliðarlengdirnar eru 11 cm og 13 cm.

Hugsum okkur stærðfræðiverkefni sem snýst um n hluti af einhverju tagi. Ef n er ekki frumtala þá má rita n = p1 · p2 ··· pn þar sem p1, p2, ..., pn eru frumtölur. Stundum endurspeglast þáttun n í frumtölur í verkefninu sjálfu þannig að verkefnið með n hlutum er „sett saman“ úr verkefnum með p1, p2, ..., pn hlutum. Verkefni þar sem fjöldi hluta er frumtala er aftur á móti ekki hægt að kljúfa upp í minni verkefni. Þetta er mjög gróf lýsing og það er ekki auðvelt að finna einfalt en samt ófáfengilegt dæmi þar sem þessi aðferð virkar. Þessi hugmynd er samt algeng ástæða þess að frumtölur koma upp í stærðfræðiverkefnum.


Frumtölur koma við sögu þegar menn kaupa sér tónlist eða myndir á iTunes.

Á síðustu árum hafa líka fundist bein not fyrir frumtölur sem við nýtum okkur á hverjum degi. Þegar við notum heimabankann okkar verður að vera tryggt að einhver sem fylgist með gögnunum sem fara á milli tölvunnar í bankanum og tölvunnar okkar geti ekki komist að lykilorðinu. Þetta er gert með því að nota frumtölur og talnafræði á sniðugan hátt. Allir fá að vita hvernig á að taka gögn og dulkóða þau. En þó menn þekki aðferðina sem notuð er til að búa til dulkóðann þá geta menn ekki lesið úr gögnunum. Ef ekki væru til slíkar öruggar aðferðir til að senda gögn á milli tölva er ólíklegt að netviðskipti væru jafn umfangsmikil og þau eru. Heimabankar, iTunes, Amazon.com og svo framvegis væru hugsanlega ekki til.

Frá örófi alda hafa frumtölurnar heillað mannkynið. Í bókum Evklíðs er sönnun á því að frumtölurnar séu óendanlega margar og um það má lesa í svari Þorsteins Vilhjálmssonar við spurningunni Hver er hæsta frumtalan?. Þó að Evklíð hafi sannað að frumtölurnar séu óendanlega margar þá er eftir spurningin um hve margar fumtölur eru minni en gefin tala N. Frumtalnasetningin fjallar um þessa spurningu en um setninguna má lesa í svari Ragnars Sigurðssonar við spurningunni Hefur tilgáta Riemanns verið sönnuð?

Menn hafa líka rýnt í lista yfir „litlar“ frumtölur og reynt að sjá eitthvert munstur. Til dæmis er talað um „tvíburafrumtölur“ ef tölurnar p og p + 2 eru báðar frumtölur. Dæmi um par tvíburafrumtalna eru tölurnar 17 og 19, tölurnar 881 og 883 og tölurnar 2003663613 · 2195000 – 1 og 2003663613 · 2195000 + 1 sem eru stærsta tvíburafrumtalnapar sem er þekkt þegar þetta er ritað (sjá hér). Tvíburafrumtalnatilgátan segir að til séu óendanlega mörg pör af tvíburafrumtölum. Þessi tilgáta er enn ósönnuð en stærðfræðingar trúa að þeim hafi miðað nokkuð áleiðis á síðust árum. Önnur spurning tengd þessari er spurningin um jafnmunarunur frumtalna. Er hægt að finna n frumtölur p1 < p2 < . . . < pn þannig að mismunurinn á nágrannatölum í röðinni, pi+1 – pi er alltaf sama talan? Svarið við þessari spurningu er „já“, þetta er alltaf hægt, sama hvaða tala n er. Þetta var sannað af Ben Green og Terrence Tao og sönnun þeirra kom nýlega út í tímaritinu Annals of Mathematics, sjá í greininni The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions (pdf-snið, 481 KB).

Önnur þekkt tilgáta um frumtölur er Goldbach-tilgátan sem er sú staðhæfing að sérhverja slétta tölu stærri en 2 megi skrifa sem summu tveggja frumtalna. Um Goldbach-tilgátuna má lesa í svari Gunnars Þórs Magnússonar við spurningunni Getið þið sannað Goldbach-tilgátuna?

Dæmin hér að ofan eru lýsandi fyrir hvers vegna frumtölurnar eru svo heillandi. Spurningarnar sjálfar eru einfaldar og auðskildar, en jafnframt feikilega erfiðar. Þær eru líka skemmtilegar að því leyti að það má glíma við þær á ýmsum stigum. Það má skoða þessar spurningar í stærðfræðitímum í grunnskólum. Það má nota tölvur til að reikna og risastóra frumtalnaparið hér á undan er árangur samvinnu fjölmargra áhugamanna og áhugatölva um allan heim. Svo má fást við þessar spurningar á því plani sem Green og Tao gera þar sem háþróaðasta stærðfræði er notuð. Ef mönnum tekst að leysa úr einhverri af þessum spurningum mætti helst líkja því við það afrek að klífa Everestfjall. Í staðinn fyrir líkamlega áreynslu kemur vitsmunaleg áreynsla en kröfurnar um úthald og seiglu eru jafnvel meiri í glímunni við stærðfræðiverkefnin og kannski eru þeir færri sem hafa það atgervi sem þarf til að ná árangri. Lausnir stærðfræðiverkefna í líkingu við þau sem minnst er á hér að framan ætti að skoða sem afrek og sigra mannkynsins og mannsandans engu síður en þá atburði þegar Everestfjall var fyrst klifið eða þegar maður steig fyrst fæti á tunglið.

Mynd:...