Hvernig fór Gauss að því leggja saman tölurnar 1 til 100 þegar stærðfræðikennarinn ætlaði að láta hann sitja eftir í skólanum?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hvernig fór Gauss að því leggja saman tölurnar 1 til 100 þegar stærðfræðikennarinn ætlaði að láta hann sitja eftir í skólanum?
Johann Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) er jafnan talinn í hópi allra mestu stærðfræðinga sem uppi hafa verið. Oft er sögð sú saga að sem barn að aldri hafi Gauss fengið það verkefni í reikningstíma að leggja saman tölurnar frá 1 til 100 og hann hafi leyst það á augabragði og skrifað rétt svar niður strax. Fyrst skulum við skoða hvernig Gauss gæti hafa farið að, en í raun vitum við ekki hvernig hann hugsaði lausnina. Aðferðin er einföld en líka ákaflega snjöll. Síðan athugum við hvernig þessi saga um Gauss varð til.

Byrjum á að skrifa tölurnar 1, 2, 3,..., 100 upp í röð. Skrifum svo tölurnar aftur upp en núna í öfugri röð þannig að undir töluna 1 kemur talan 100, undir töluna 2 kemur talan 99 og svo framvegis. Höfum þá á blaðinu

1	+	2	+	3	+	4	+	...	+	100
100	+	99	+	98	+	97	+	...	+	1

Leggjum svo saman tölurnar í hverjum „dálki“, fyrst 1 + 100, svo 2 + 99 og svo framvegis. Tökum eftir að við fáum alltaf 101. Það eru 100 dálkar svo ef við leggjum saman útkomurnar úr öllum dálkunum þá fáum við 100 ⋅ 101 = 10100. Sjáum nú að \[(1+2+3+4+\cdots+100)+(100+99+98+97+\cdots+1)\] \(=10100\)

og því er \[1+2+3+4+\cdots+100=\frac{10100}{2}=5050\] Þessa aðferð má nota til að leysa almennara verkefni þar sem reikna á $a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n$ þar sem mismunurinn á samliggjandi tölum er alltaf sama talan $d$, það er að segja $a_{i+1}-a_i=d$ fyrir $i=1, 2, \cdots, n-1$. Talnarunan $a_1$, $a_2$, $a_3$,...,$a_n$ er það sem kallað er jafnmunaruna. Útkoman er að \[a_1+ a_2+a_3+ \cdots+ a_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\] Formúlan hér að ofan fyrir summu jafnmunarunu er velþekkt og hana má finna í mörgum kennslubókum fyrir framhaldsskóla.

Sagan um Gauss er til í ýmsum mismunandi útgáfum. Upprunalegu heimildina má finna í eftirmælum um Gauss sem skrifuð voru af góðum vini hans Wolfgang Sartorius von Waltershausen. Þar er sagt frá því að þegar Gauss var 10 ára hafi reikningskennari Gauss fengið bekknum það verkefni að finna summu ákveðinnar jafnmunarunu. Kennarinn var rétt búinn að skrifa verkefnið upp þegar Gauss, sem var yngstur í bekknum, sagðist vera búinn. Þegar svörin voru athuguð var Gauss með rétt svar en margir hinna með röng svör. Samkvæmt von Waltershausen hafði Gauss mikla ánægju af því að segja þessa sögu á sínum efri árum.

Í upphaflegu heimildinni er hvergi getið um að verkefnið hafi verið það að leggja saman tölurnar frá 1 til 100. Þegar sagan er sögð þannig að verkefnið hafi verið að leggja saman þessar tölur þá er verið að skálda í eyðurnar, kannski til að gera lesandanum auðveldara að skilja verkefnið. Sumum sem segja þessa sögu hefur fundist það of þungt verkefni að leggja saman tölurnar frá 1 til 100 og segja í staðinn að verkefnið hafi verið að leggja saman tölurnar frá 1 til 50 eða jafnvel bara tölurnar frá 1 til 10. Margir bæta svo við að tilgangur kennarans hafi verið að láta nemendurna dunda við þetta verkefni og hafa sjálfur frið á meðan.

Lýsingarnar á kennaranum og aðstæðunum í skóla Gauss eru líka misskrautlegar. Skrautlegustu útgáfuna má finna í bók Eric Temple Bell Men of Mathematics. Þetta er ákaflega skemmtileg bók, en ekki að sama skapi traust heimild, enda virðist höfundur hafa haft það að leiðarljósi að hafa ávallt það sem skemmtilegar hljómar frekar en það sem sannara reynist. Kennaranum Büttner er þar lýst þannig að kennslufræði hans hafi byggst á því að berja nemendur þangað til þeir urðu stjarfir af ótta og mundu vart hvað þeir hétu. Bell segir að verkefnið hafi verið að reikna summu jafnmunarunu og gefur upp sem dæmi \[81297+81495+81693+\cdots+100899\] þar sem reikna á summu jafnmunarunu með 100 tölum. Væntanlega geta lesendur þessa svars fundið útkomuna úr því dæmi á einfaldan hátt! Bell færir enn í stílinn þegar hann segir að Gauss hafi verið sá eini sem leysti verkefnið rétt. Bell heldur svo áfram og segir að við þetta atvik hafi Büttner gert sér grein fyrir afburða hæfileikum Gauss og hafi hann reynst honum vel upp frá því.

Heimild og mynd:

• American Scientist Online.
• Wikipedia

...