Hvernig er hægt að reikna líkurnar á að samliggjandi tölur komi upp úr lottóútdrætti?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hvernig er hægt að reikna líkurnar á að samliggjandi tölur komi upp úr lottóútdrætti?
Líkurnar á að tvær eða fleiri samliggjandi tölur komi upp úr lottóútdrætti eru 42,71%, eins og sagt er frá í svari sama höfundar við spurningunni Hvers vegna finnst mér oftar en ekki þegar dregið er í lottó að samliggjandi tölur komi upp úr drættinum? Hér verður sýnt hvernig hægt er að reikna þessar líkur. Tekið skal fram að röksemdafærslan er talsvert snúin og svarið gagnast þess vegna helst þeim sem hafa einhverja þekkingu í líkinda- og talningarfræði.

Lykillinn að lausn þessa verkefnis felst í tvennu. Í fyrsta lagi kemur fljótt í ljós að það er hægara sagt en gert að reikna beint líkurnar á að lottóútdráttur hafi samliggjandi tölur. Mun auðveldara reynist að reikna líkurnar á að hið gagnstæða gerist, það er að útdrátturinn hafi ekki samliggjandi tölur, og draga þær síðan frá 100%. Þess vegna munum við gera það.

Í öðru lagi athugum við að lottóútdráttur felst í því að velja fimm jákvæðar heiltölur á bilinu 1 til 40 af handahófi. Í sjónvarpinu eru þessar fimm tölur valdar með því að þeyta kúlum til og frá í lottóvél, en til einföldunar munum við hugsa okkur að tölurnar séu valdar á annan hátt.

Segjum að við höfum 35 eins hvítar kúlur og 5 eins rauðar kúlur, og að við röðum þessum 40 kúlum í einfalda röð af handahófi. Númerum síðan kúlurnar þannig að fremsta kúlan verði númer 1, næstfremsta verði númer 2, og svo koll af kolli. Síðasta kúlan verður þá númer 40. Niðurstaða þessa ferlis er að fimm jákvæðar heiltölur á bilinu 1 til 40 lenda á rauðri kúlu, svo þar sem kúlunum var raðað af handahófi skilar ferlið í raun fimm tölum á bilinu 1 til 40 af handahófi.

Að reikna líkurnar á að engar samliggjandi tölur komi upp úr lottóútdrætti er þess vegna það sama og að reikna líkurnar á að ferlið úr síðustu efnisgrein skili engum samliggjandi tölum. Það er síðan það sama og að reikna líkurnar á að engar rauðar kúlur lendi hlið við hlið þegar 35 eins hvítum kúlum og 5 eins rauðum kúlum er raðað í einfalda röð af handahófi. Einfaldast er að reikna síðastnefndu líkurnar, og þess vegna munum við gera það.

Segjum þá að við höfum 35 eins hvítar kúlur og 5 eins rauðar kúlur. Hugsum okkur síðan að við ætlum að stilla kúlunum upp í einfalda röð þannig að engar af rauðu kúlunum standi hlið við hlið í röðinni. Þá byrjum við á að stilla öllum 35 hvítu kúlunum upp í einfalda röð, eins og myndin að neðan sýnir. Punktalínan gefur til kynna að myndin sýnir ekki allar hvítu kúlurnar, heldur aðeins nokkrar þeirra.

Síðan komum við rauðu kúlunum fimm fyrir í röðinni. Þar sem þær mega ekki vera hlið við hlið verðum við að setja sérhverja rauða kúlu á einhvern eftirfarandi staða:

• Fyrir framan fremstu hvítu kúluna.
• Á milli tveggja hvítra kúlna.
• Fyrir aftan öftustu hvítu kúluna.

Á myndinni að neðan gefa pílurnar til kynna hvar við getum sett rauðu kúlurnar.

Þar sem hvítu kúlurnar eru 35 talsins höfum við úr 36 sætum að velja fyrir rauðu kúlurnar. Sætin fyrir rauðu kúlurnar fimm getum við þess vegna valið á ${36 \choose 5}$ vegu. Hér táknar ${36 \choose 5}$ tvíliðustuðul, sem lesa má um í svari sama höfundar við spurningunni Hvað er tvíliðustuðullinn C(n,k) og hvers vegna er fjöldi tvíundastrengja af lengd n með k ása einmitt C(n,k)?

Við sjáum þá að fjöldi möguleika á að raða upp 35 eins hvítum kúlum og 5 eins rauðum kúlum, þannig að engar rauðar kúlur standi hlið við hlið, eru ${36 \choose 5}$. Alls má raða þessum 40 kúlum upp á ${40 \choose 5}$ vegu, því þá getum við sett rauðu kúlurnar fimm á hvaða stað sem er í röðinni. Líkurnar á að engar tvær rauðar kúlur lendi hlið við hlið þegar kúlunum 40 er raðað í einfalda röð af handahófi eru þess vegna

\[\frac{\displaystyle {36 \choose 5}}{\displaystyle {40 \choose 5}} \approx 0,5729 = 57,\!29\%.\]

Eins og greint var frá fyrr í svarinu eru þessar líkur þær sömu og líkurnar á að engar samliggjandi tölur komi upp í lottútdrætti. Líkurnar á að hið gagnstæða gerist, það er að í það minnsta tvær samliggjandi tölur komi út úr drættinum, eru þá

\[100\% - 57,29\% = 42,\!71\%.\]

Myndir:

• Lottóvél: BBC. Sótt 26.10.2011.

...