Hefur það einhverja merkingu að velja stak af handahófi úr óendanlegu mengi?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hefur það einhverja merkingu að velja stak af handahófi úr óendanlegu mengi?
Öll þekkjum við ferlið að velja einn kost af nokkrum af hreinu handahófi þar sem hver kostur kemur upp með jöfnum líkum. Kunnugleg dæmi eru að kasta krónu til að velja milli tveggja kosta (til dæmis hvort liðið byrjar kappleik) með jöfnum líkum $1/2$ ($50\%$) á hvorum þeirra og að kasta sex hliða teningi til að fá eina af tölunum $1,2,3,4,5,6$ með jöfnum líkum $1/6$ ($16.666...\%$). Hér er gengið út frá því að krónan og teningurinn séu haganlega smíðuð þannig að jafnar líkur séu á hverri útkomu. Auðvelt er að alhæfa þetta ferli fyrir endanlega marga kosti. Við teljum einfaldlega fjölda kosta, köllum hann $n$, og látum hvern kost fá líkurnar $1/n$, það er einn á móti fjöldanum. Það er svo lengri og flóknari umræða hvernig við færum að við að velja slíkan kost af handahófi en ímyndum okkur að við getum smíðað tening með $n$ hliðum þannig að jafnar líkur séu á því að hver hlið komi upp. Aðdáendur hlutverkaspila á borð við Dungeons & Dragons kannast við nokkra slíka teninga. Það er ekkert því til fyrirstöðu að velja $n$ mjög stórt, eins og við þekkjum til dæmis úr fjárhættuspilum eins og íslenska lóttóinu. Þar eru dregnar út 5 tölur (sleppum til einföldunar bónustölunni) á bilinu 1 til 40. Heildarfjöldi mögulegra samsetninga af 5 slíkum tölum er $658008$ og allar samsetningar eru jafnlíklegar. Líkurnar á því að fá 5 tölur réttar á eina línu eru því $1/658008$. Lexían er sú að því fleiri sem mögulegar útkomur eru því nær núll verða líkurnar á að fá gefna útkomu, séu líkurnar jafnar.

Spyrjandinn vill hins vegar vita hvernig við berum okkur að ef við viljum velja af handahófi úr óendanlegum fjölda kosta, til dæmis eina tölu úr öllum jákvæðu heilu tölunum $1,2,3,4,...$ eða eina tölu úr öllum rauntölunum (samfelldu talnalínunni). Með samanburði við endanlega tilfellið virðumst við þurfa að velja hvert stak með líkunum 0 og að hafa til umráða tening með óendanlega mörgum hliðum. Ég mun gera tilraun til að skýra hvernig má í vissum tilfellum gefa þessu merkingu. Ég vil þó undirstrika að spurningin er stærðfræðilegs eðlis, það er að segja um hvort við getum útvíkkað hugmyndir okkar um líkur með skynsamlegum hætti á mengi með óendanlegum fjölda staka. Það er ekki sjálfgefið að slíkar vangaveltur hafi alltaf beina samsvörun við raunverulegt val af handahófi eins og þegar teningi er kastað.

Safn hluta, fyrirbæra, eða hugtaka kallast mengi og innihald þeirra kallast stök. Táknum safnið okkar með bókstafnum $S$ og tölum héðan í frá um það sem mengi. Þegar $S$ inniheldur óendanlega mörg stök vandast málið og það kemur í ljós að úr sumum slíkum mengjum er hægt að velja stak með jöfnum líkum og sumum ekki og raunar þarf talsvert flókna stærðfræði til þess að útskýra nákvæmlega í hverju munurinn liggur.

Hugsum okkur nú að við viljum velja stak af handahófi úr $S$. Til þess skilgreinum við hugtakið atburð sem er eitthvað sem gerist og við getum mælt líkurnar á. Atburði má lýsa með hlutmengi úr $S$, það er að segja mengi staka úr $S$ (engra, sumra eða allra) sem hægt er að úthluta líkum. Til dæmis ef $S = \{1,2,3,4,5,6\}$ er mengi mögulegra útkoma úr teningakasti þá er dæmi um atburð „upp kemur oddatala í teningakastinu“, líkurnar á þeim atburði eru $1/2$ ($50\%$) og honum má lýsa með hlutmenginu $\{1,3,5\}$.

Í einfölduðu máli þá eru tvær kröfur sem við gerum til vals af handahófi úr $S$:

1. Líkurnar á að einhver atburður gerist eru 1 ($100\%$).
2. Ef við höfum runu, mögulega óendanlega, af atburðum $A_1$, $A_2$,$A_3$,... sem þó er hægt að telja upp (slík runa er sögð teljanleg) og atburðirnir skarast ekki tveir og tveir, þá eru líkurnar á því að einhver þeirra gerist jafnar samanlögðum líkum á því að hver fyrir sig gerist. Þetta getum við ritað sem jöfnuna
   
   líkur á $A_1$ eða $A_2$ eða $A_3$ eða ... = líkur á $A_1$ + líkur á $A_2$ + líkur á $A_3$ + ...

Ef við lítum aftur til dæmisins með teningunum þá eru atburðirnir „upp kemur oddatala“ og „upp kemur slétt tala“ dæmi um atburði sem ekki skarast og

• $1 = $ líkur á að upp komi oddatala eða slétt tala = líkur á að upp komi oddatala $+$ líkur á að upp komi slétt tala $= 1/2 + 1/2$

sem er í samræmi við skilyrði I) og II). Skilyrði I) og II), ásamt ögn fleiri tæknilegum útfærsluatriðum, gefa af sér mjög viðamikið svið innan stærðfræðinnar sem kallast nútíma líkindafræði.

Athugum nú hvað skilyrðin segja um tilfellið þegar $S = \{1,2,3,\ldots\}$ er mengi allra jákvæðra heilla talna. Hugsum okkur að hægt sé að velja stak úr $S$ með jöfnum líkum og köllum þær $p$. Þá gefur skilyrði II) að

• líkurnar á $S$ = líkurnar á $\{1\}$ + líkurnar á $\{2\}$ + $\cdots = p+p+\cdots$

Ef $p$ er stærra en $0$ þá kemur út óendanlegt í hægri hliðinni en ef $p=0$ kemur út $0$ úr hægri hliðinni. Í báðum tilfellum er það í mótsögn við skilyrði I) sem segir að líkurnar á $S$ skuli vera 1. Þar með höfum við sýnt að ekki er hægt að velja stak úr $S$ með jöfnum líkum. Sömu rök gilda fyrir öll mengi sem eru þannig að hægt er að telja upp stökin úr þeim (slík mengi eru sögð teljanleg). Nauðsynleg forsenda þess að hægt sé að velja stak með jöfnum líkum úr óendanlegu mengi er því sú að mengið sé ekki teljanlegt. Dæmi um önnur teljanleg mengi er til dæmis ræðu tölurnar, en það er mengi allra talna sem skrifa má sem almennt brot á forminu $n/m$ þar sem $n$ og $m$ eru heilar tölur og $m\neq 0$.

Skoðum næst tilfellið þegar $S$ er mengi allra rauntalna. Það er tæknilega flókið að lýsa því með nákvæmum hætti en losaralega orðað samanstendur það af öllum punktum á talnalínunni, til dæmis -3, 0, 1, $\pi$, $\sqrt{2}$. Rauntölurnar eru mjög margar og í raun mun fleiri en heilu tölurnar og ræðu tölurnar. Þær eru svo margar að ekki er hægt að telja þær upp eina af annarri, það er því eðlilegt að velta fyrir sér hvort hægt sé að velja tölu úr þeim með jöfnum líkum. Því miður lendum við aftur í vanda ef við gerum skynsamlegar kröfur til þess hvað ,,jafnar líkur'' merkir. Eðlilegt væri að krefjast þess að atburðirnir $\ldots,[-2,-1[,[-1,0[,[0,1[,[1,2[,\ldots$ hafi allir sömu líkur, segjum $q$. Hér merkir $[a,b[$ allar rauntölur á bilinu $a$ upp í $b$ þar sem $a$ er talið með en $b$ ekki. Þessir atburðir eru teljanlega margir (við höfum þegar talið þá upp), skarast ekki tveir og tveir en mynda saman allar rauntölurnar. Skilyrði II) segir þá að heildarlíkurnar á því að einhver þeirra gerist séu jafnar

$$ q+q+q\cdots $$

sem er annað hvort jafnt $0$ eða óendanlegu sem er í mótsögn við skilyrði I) sem segir að líkurnar skuli vera jafnar 1. Óteljanleiki rauntalnanna bjargar okkur því ekki einn og sér.

En við skulum ekki gefast upp. Það var greinilega vandamál að rauntalnalínan er óendanlega löng svo við gátum skorið hana niður í teljanlega mörg jafn stór bil sem ekki skarast. Við þurfum að losa okkur við þann möguleika og skoðum því í staðinn mengi allra rauntalna á bilinu $[0,1]$, það er allra rauntalna milli 0 og 1 að 0 og 1 meðtöldum. Bilið $[0,1]$ reynist áfram vera óteljanlegt, og ekki er hægt að skipta því niður í óendanlega mörg jafn stór bil (af lengd $>0$) sem ekki skarast og við höfum því losað okkur við síðasta vandamál. Athugum að nú verður að gilda að líkurnar á að fá tiltekið stak úr $[0,1]$ séu jafnar 0. Ef þær væru jafnar einhverri tölur $r$ sem er stærri en 0, gætum við talið upp óendanlega mörg ólík stök og líkurnar á því að velja eitthvert þeirra af handahófi væru, samkvæmt II)

$$ r+r+r\cdots $$

sem gæfi óendanlegt. Þetta virðist ef til vill vera í mótsögn við I), sem segir að heildarlíkurnar á að eitthvað gerist skuli vera 1 og hvernig má það vera ef líkurnar á hverju staki fyrir sig eru jafnar 0? En hér er engin mótsögn, því við getum ekki talið öll stökin upp, til þess eru þau of mörg. Að frátöldum nokkrum smáatriðum getum við nú séð að það reynist mögulegt að velja stak með jöfnum líkum af bilinu $[0,1]$. Líkurnar eru skilgreindar með eftirfarandi hætti. Stak sem valið er með jöfnum líkum úr $[0,1]$ lendir inni á bili $[a,b]$ sem innihaldið er í $[0,1]$ með líkum sem jafnar eru lengd bilsins $b-a$. Sem dæmi, líkurnar á því að það lendi inni á bilinu $ [0,1/2]$ eru $1/2-0 = 1/2$ og líkurnar á því að það lendi inni á bilinu $[1/3,2/3]$ eru jafnar $2/3-1/3 = 1/3.$

Þessi skilgreining segir okkur ekki beint hvernig við ættum að velja nákvæmlega eina tölu af handahófi, það er hvernig við smíðum tening með óendanlega margar hliðar og köstum honum. Lausnin er sniðug: Í stað þess að nota einn tening með óendanlega mörgum hliðum, notum við óendanlega margar teninga, hvern þeirra með endanlega mörgum hliðum. Hliðar hvers tenings eru þá 10 talsins, merktar með tölunum $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ og tala er valin með jöfnum líkum með því að kasta einum teningi fyrir hvern aukastaf hennar. Ef við fáum til dæmis upp $1,7,7,2,0,5,7,1,1,9,\ldots$ verður talan $0.1772057119\ldots$

Ef við tökum saman hvað þurfti til að skilgreina jafnar líkur á óendanlegu mengi þá stendur eftirfarandi upp úr:

• Mengið verður að vera óteljanlegt.
• Mengið verður að vera takmarkað (í vissum skilningi).
• Við þurfum að geta mælt lengdir/stærðir/líkur á hlutmengjum.

Ýmsar fórnir voru færðar á leið okkar að þessum skilyrðum og til dæmis má sýna að ekki öll hlutmengi í $[0,1]$ hafa vel skilgreindar líkur. Þau hlutmengi sem hægt er að mæla líkurnar á köllum við atburði (eða mælanleg mengi) eins og áður kom fram og safn allra atburða nefnist $\sigma$-algebra (sigma-algebra). Um þessi hugtök er fjallað í grein innan stærðfræðinnar sem nefnist mál- og tegurfræði (e. theory of measures and integration) sem er meðal annars kennd í grunnámi í stærðfræði við Háskóla Íslands.

Í lokin má taka fram að það er hægt að velja slembna tölu úr teljanlegu mengi líkt og jákvæðu heilu tölunum, þó svo að ekki sé hægt að gera það með jöfnum líkum. Til dæmis má skilgreina „bjagaðan tening“ með hliðar merktar $1,2,3,\ldots$, þannig að líkurnar á að fá $1$ séu $1/2, 2$ séu $1/4, 3$ séu $1/8$ og svo framvegis. Þá eru heildarlíkurnar

$$ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots $$

og útkoman úr þessari samlagningu óendanlegra margra liða reynist vera 1. Þessar líkur koma einnig við sögu þegar krónu er kastað endurtekið af handahófi þar til framhliðin kemur upp. Líkurnar á að fjöldi kasta sé $1,2,3,\ldots$ eru þá $1/2, 1/4, 1/8,\ldots$ (í sömu röð).

Það er einnig hægt að velja slembipunkta á rauntalnalínunni af handahófi ef maður sættir sig við að velja óendanlega marga í einu. Hægt er að hugsa sér að punktunum sé stráð af handahófi yfir alla rauntalnalínuna en þó þannig að fjöldi punkta á lengdareiningu sé að meðaltali sá sami. Slíkt safn af slembipunktum kallast Poisson-ferli.

---

Höfundur þakkar Heiðu Maríu Sigurðardóttur, dósent við Sálfræðideild HÍ, og Hermanni Þórissyni, prófessor í stærðfræði við HÍ, fyrir yfirlestur.

...