Hvert er rúmmál einingarkúlu?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hvert er rúmmál einingarkúlu?
Einingarkúla er kúla með geislann einn. Það fer eftir aðstæðum hverju sinni hvort yfirborð kúlunnar er talið með eða ekki, en það breytir ekki rúmmálinu. Stundum er miðja kúlunnar sett í upphafspunkt hnitakerfisins til hagræðis en það hefur ekki heldur áhrif á rúmmálið.

Þeir sem hafa á reiðum höndum jöfnuna um rúmmál kúlu með tilteknum geisla r eru því fljótir að svara spurningunni með því að setja r = 1 í þeirri jöfnu og fá út rúmmálið\[V=V_{3}=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^{3}=\frac{4\pi }{3}\]Þarna höfum við sett lágvísinn (subscript) 3 á táknið fyrir rúmmál til að minna okkur á að þetta gildir í þrívíðu rúmi eins og því sem við lifum og hrærumst í dags daglega. Þetta er sem sé rúmmál þeirrar einingarkúlu sem okkur er tamast að hugsa okkur. En þar með er ekki öll sagan sögð því að hægt er að tala um einingarkúlur í rúmi með hvað vídd n sem er.

Einvítt rúm í stærðfræði er jafngilt mengi þeirra punkta sem liggja á beinni línu. Í „einingarkúlunni“ í því rúmi eru samkvæmt framansögðu þeir punktar sem liggja á bilinu kringum upphafspunkt upp í fjarlægðina 1 til beggja handa. „Rúmmál“ þeirrar „kúlu“ í skilningi stærðfræðinnar er lengd bilsins. Þessi lengd er 2 og við táknum það svo:\[V_{1}=2\] Einingarkúlan í tvívíðu rúmi er á sama hátt jafngild hring með geislanum r = 1. „Rúmmál“ hennar er það sem við köllum venjulega flatarmál hringsins. Ef hringurinn hefur geislann r er flatarmál hans \(A=\pi r^{2}\). Með því að setja r = 1 í þeirri jöfnu fáum við rúmmál einingarkúlunnar í tvívíðu rúmi: \[V_{2}=\pi\]Nú langar lesandann kannski að vita um rúmmál einingarkúlunnar í n-víðu rúmi sem svo er kallað, og svarið er eftirfarandi:\[V_{n}=\frac{(\frac{1}{n})2\pi^{(n/2)}}{\Gamma (\frac{n}{2})}\]Hér er \(\Gamma\) svokallað gammafall sem er nátengt aðfeldisfallinu eða „hrópmerkisfallinu“ sem sumir kannast við úr stærðfræði menntaskóla.

Eins og vera ber í stærðfræði fæst samræmi við sértilvikin hér á undan ef sett er inn n = 1, 2 eða 3 í þessa jöfnu.

Handa þeim sem finnst gammafallið framandlegt má skrifa svarið sem hér segir, þegar víddin er oddatala, n = 2k + 1:\[V_{n}=\frac{n^{k}}{((\frac{1}{2})\cdot (\frac{3}{2})\cdot ...\cdot (\frac{n}{2}))}\]en þegar víddin er slétt tala, n = 2 k:\[V_{n}=\frac{n^{k}}{(1\cdot 2\cdot3\cdot ...\cdot k)}\]

Höfundur þakkar starfsfélögum sínum í stærðfræði og eðlisfræði við Raunvísindastofnun aðstoð við þetta svar og skemmtilegar umræður um efni þess....