Hvað eru fullkomnar tölur?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hvað eru fullkomnar tölur?
Náttúrleg tala er sögð fullkomin ef hún er jöfn summu allra þeirra talna sem eru minni en hún sjálf og ganga upp í henni. Þannig er 6 fullkomin tala, því 6 = 1 + 2 + 3, og einnig er 28 fullkomin því 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Hins vegar eru 22 og 24 ekki fullkomnar; aðeins 1, 2 og 11 ganga upp í 22 og 1 + 2 + 11 = 14, og 1, 2, 3, 4, 6, 8 og 12 ganga upp í 24, en summa þeirra er 36. Auk 6 og 28 eru fyrstu nokkrar fullkomnu tölurnar 496, 8128 og 33550336. Grikkir til forna höfðu áhuga á þessum tölum og skilgreindu þær fyrstir manna, en þeir þekktu aðeins þær fyrstu fjórar.

Fullkomnar tölur koma sjaldan fyrir í dýraríkinu.

Þrátt fyrir að fullkomnar tölur hafi verið þekktar í langan tíma á enn eftir að svara mörgum spurningum um þær. Til dæmis er ekki vitað hvort til sé fullkomin oddatala, aðeins 44 fullkomnar tölur eru þekktar, og enginn veit hvort fullkomnu tölurnar eru óendanlega margar. Reyndar er náið samband á milli sléttra fullkomna talna og svokallaðra Mersenne-frumtalna, því stærðfræðingarnir Evklíð (um 300 f.Kr.) og Euler (1707 - 1783) sönnuðu að sérhverja slétta fullkomna tölu má skrifa á forminu

2^n-1(2ⁿ-1),

þar sem 2ⁿ-1 er Mersenne-frumtala. Um Mersenne-frumtölur má lesa meira í svari sama höfundar við spurningunni Hver er stærsta þekkta frumtalan?

Fullkomnar tölur hafa ekki fangað athygli stærðfræðinga að nærri jafn miklu leyti og frumtölurnar. Erfitt er að segja til um ástæðurnar sem liggja þar að baki, en sennilega skiptir einhverju máli að ólíkt frumtölunum eru fullkomnu tölurnar nokkuð afmarkað fyrirbæri. Þær hafa ekki skotið upp kollinum á eðlilegan hátt í stærðfræði, og því hafa helstu spurningarnar um eðli þeirra setið á hakanum.

Heimildir og mynd:

• Fullkomnar tölur á Wikipedia.
• Mynd fengin af Flickr síðu pshutterbug. Birt undir Creative Commons skírteini.

...