Er hægt að setja 'óendanlegt' í annað veldi?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Er hægt að setja 'óendanlegt' í annað veldi?
Upphaflega spurningin var sem hér segir:

Er hægt að setja endalaust í annað veldi?

Þessa spurningu má skilja á fleiri en einn veg en við höfum kosið að skilja hana eins og fram kemur í spurningarreitnum. Vikið er að öðrum kostum í lok svarsins.

Svarið er já, og útkoman er aftur „endalaust“ eða óendanlegt. En hér er auðvitað nauðsynlegt að skýra hvað við er átt.

Hugsum okkur töflu með n dálkum og n röðum eða línum. Fjöldi reita í töflunni er þá n² (n í öðru veldi eða n sinnum n). Við getum auðkennt hvern þeirra með númeri dálksins og númeri línunnar sem hann er í. Parið (3,5) samsvarar þannig reitnum sem er í 3. dálki og 5. línu. Þannig höfum við gagntæka vörpun milli reitanna og allra para sem búin eru til úr tölum á bilinu frá 1 upp í n. Það merkir að hverjum reit samsvarar eitt og aðeins eitt par og hverju pari samsvarar einn og aðeins einn reitur.

Þetta getum við notað til að gefa því merkingu að setja eða hefja 'óendanlegt' í annað veldi. Við búum einfaldlega til öll röðuð pör af náttúrlegum tölum:

(1,1) (1,2) (2,1) (1,3) (2,2) (3,1) (1,4)...

Fjöldi talnanna í hvoru sæti um sig er óendanlegur og því er eðlilegt að segja að fjöldi para sé einmitt "óendanlegt í öðru veldi", á sama hátt og fjöldi reita eða para í endanlegu töflunni er n í öðru veldi eins og við sögðum hér á undan.

En á hinn bóginn er hægt að búa til gagntæka vörpun milli mengisins af pörum, sem er stundum táknað með N², og upphaflega mengisins N, það er að segja mengisins af náttúrlegum tölum. Ein slík vörpun gæti verið eins og ýjað er að í röðuninni hér á undan, þannig að tala 1 samsvarar parinu (1,1), 2 samsvara (1,2), 3 (2,1), 4 (1,3) og svo framvegis. Parinu sem er númer n í röðinni samsvarar á hinn bóginn náttúrlega talan n.

Mengið af pörum er því í þessum skilningi stærðfræðinnar jafnstórt og mengi náttúrlegra talna. Við höfum þannig sýnt fram á það sem sagt er í upphafi svarsins um leið og við gáfum því merkingu.

Upphaflegu spurninguna sem sýnd er í byrjun svarsins má annars líka til dæmis skilja sem svo, hvort hægt sé að halda áfram endalaust að setja tölu í annað veldi. Ef við byrjum til að mynda með töluna 2 þá mundi þannig koma fram runan

2, 4, 16, 256, ...

Svarið við þessari spurningu er einnig skýlaust já; við getum haldið svona áfram endalaust!

Höfundur þakkar Rögnvaldi Möller fróðlegar umræður um þetta svar....