Sólin Sólin Rís 10:17 • sest 16:10 í Reykjavík
Tunglið Tunglið Rís 21:40 • Sest 15:54 í Reykjavík
Flóð Flóð Árdegis: 10:12 • Síðdegis: 22:46 í Reykjavík
Fjaran Fjara Árdegis: 03:46 • Síðdegis: 16:36 í Reykjavík
Sólin Sólin Rís 10:17 • sest 16:10 í Reykjavík
Tunglið Tunglið Rís 21:40 • Sest 15:54 í Reykjavík
Flóð Flóð Árdegis: 10:12 • Síðdegis: 22:46 í Reykjavík
Fjaran Fjara Árdegis: 03:46 • Síðdegis: 16:36 í Reykjavík
LeiðbeiningarTil baka

Sendu inn spurningu

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=
Forsíða Náttúruvísindi og verkfræði Stærðfræði Hver er munurinn á kúptu og hvelfdu falli, það er að segja hvernig snúa þau?

Flokkun:

29.9.2008
Náttúruvísindi og verkfræði Stærðfræði

Hver er munurinn á kúptu og hvelfdu falli, það er að segja hvernig snúa þau?

Gunnar Þór Magnússon

Til þess að allir viti hvað um er rætt skulum við líta á skilgreininguna á kúptum og hvelfdum föllum. Látum I vera bil í rauntölunum og f vera fall frá I í rauntölurnar. Þá er f sagt vera kúpt ef um öll x og y í I gildir að

\[f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)\]

fyrir öll t milli 0 og 1.



Kúpt fall á bili ásamt punktunum sem vísað er til í skilgreiningunni. Graf fallsins er teiknað með grænum lit.

Þetta þýðir að ef við tökum einhverja tvo punkta á grafi f, þá liggur beina strikið á milli þeirra fyrir ofan graf f. Stundum er sagt að kúpt föll séu brosandi, af því að graf þeirra er uppbeygt eins og munnurinn á broskalli.

Íhvolfd föll eru náskyld kúptum föllum, en fall f er sagt vera íhvolft ef fallið -f er kúpt, það er ef strikið á milli sérhverra tveggja punkta á grafi þess liggur fyrir neðan grafið. Graf íhvolfdra falla snýr því öfugt miðað við kúpt föll, og stundum er sagt að íhvold föll séu með skeifu. Vegna þess að hugtökin kúpt fall og íhvolft fall eru svona náskyld þá er yfirleitt látið nægja að athuga kúpt föll í stærðfræði.

Mörg þeirra falla sem fólk þekkir eru annað hvort kúpt eða íhvolfd. Til dæmis er margliðan x2 kúpt fall, og tölugildisfallið er kúpt, en náttúrlegi logrinn ln(x) er íhvolft fall. Önnur kunnugleg föll eru hvorki kúpt né íhvolfd, en sem dæmi má nefna margliðuna x3 eða hornaföllin sínus og kósínus sem eru skilgreind fyrir allar rauntölur.

Kúpt föll eru til margs nýt í stærðfræði og hafa nokkra þægilega eiginleika. Til dæmis má sanna að ef kúpt fall hefur staðbundið lággildi, þá er það lággildi víðfemt. Eins leiða ýmsar vel þekktar ójöfnur beint af því að ákveðið fall er kúpt eða íhvolft; þar á meðal er ójafnan um rúmfræðilegt og venjulegt meðaltal, en fljótlegt er að sanna hana um leið og þekkt er að náttúrlegi logrinn ln(x) er íhvolft fall.

Meira efni á Vísindavefnum:

Heimildir og mynd:

  • Rudin, Walter. Real and complex analysis, 3. útgáfa. 1987. McGraw-Hill publishing co.
  • Skýringarmynd af kúptu falli fengin af Wikipedia.

Höfundur

Gunnar Þór Magnússon

Gunnar Þór Magnússon

stærðfræðingur

Útgáfudagur

29.9.2008

Spyrjandi

Guðrún Hálfdánardóttir

Efnisorð

Tilvísun

Gunnar Þór Magnússon. „Hver er munurinn á kúptu og hvelfdu falli, það er að segja hvernig snúa þau?“ Vísindavefurinn, 29. september 2008, sótt 21. nóvember 2024, https://visindavefur.is/svar.php?id=10292.

Gunnar Þór Magnússon. (2008, 29. september). Hver er munurinn á kúptu og hvelfdu falli, það er að segja hvernig snúa þau? Vísindavefurinn. https://visindavefur.is/svar.php?id=10292

Gunnar Þór Magnússon. „Hver er munurinn á kúptu og hvelfdu falli, það er að segja hvernig snúa þau?“ Vísindavefurinn. 29. sep. 2008. Vefsíða. 21. nóv. 2024. <https://visindavefur.is/svar.php?id=10292>.

Chicago | APA | MLA

Þessi síða notar vafrakökur Nánari upplýsingar

Ég samþykki

Senda grein til vinar

=

Hver er munurinn á kúptu og hvelfdu falli, það er að segja hvernig snúa þau?
Til þess að allir viti hvað um er rætt skulum við líta á skilgreininguna á kúptum og hvelfdum föllum. Látum I vera bil í rauntölunum og f vera fall frá I í rauntölurnar. Þá er f sagt vera kúpt ef um öll x og y í I gildir að

\[f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)\]

fyrir öll t milli 0 og 1.



Kúpt fall á bili ásamt punktunum sem vísað er til í skilgreiningunni. Graf fallsins er teiknað með grænum lit.

Þetta þýðir að ef við tökum einhverja tvo punkta á grafi f, þá liggur beina strikið á milli þeirra fyrir ofan graf f. Stundum er sagt að kúpt föll séu brosandi, af því að graf þeirra er uppbeygt eins og munnurinn á broskalli.

Íhvolfd föll eru náskyld kúptum föllum, en fall f er sagt vera íhvolft ef fallið -f er kúpt, það er ef strikið á milli sérhverra tveggja punkta á grafi þess liggur fyrir neðan grafið. Graf íhvolfdra falla snýr því öfugt miðað við kúpt föll, og stundum er sagt að íhvold föll séu með skeifu. Vegna þess að hugtökin kúpt fall og íhvolft fall eru svona náskyld þá er yfirleitt látið nægja að athuga kúpt föll í stærðfræði.

Mörg þeirra falla sem fólk þekkir eru annað hvort kúpt eða íhvolfd. Til dæmis er margliðan x2 kúpt fall, og tölugildisfallið er kúpt, en náttúrlegi logrinn ln(x) er íhvolft fall. Önnur kunnugleg föll eru hvorki kúpt né íhvolfd, en sem dæmi má nefna margliðuna x3 eða hornaföllin sínus og kósínus sem eru skilgreind fyrir allar rauntölur.

Kúpt föll eru til margs nýt í stærðfræði og hafa nokkra þægilega eiginleika. Til dæmis má sanna að ef kúpt fall hefur staðbundið lággildi, þá er það lággildi víðfemt. Eins leiða ýmsar vel þekktar ójöfnur beint af því að ákveðið fall er kúpt eða íhvolft; þar á meðal er ójafnan um rúmfræðilegt og venjulegt meðaltal, en fljótlegt er að sanna hana um leið og þekkt er að náttúrlegi logrinn ln(x) er íhvolft fall.

Meira efni á Vísindavefnum:

Heimildir og mynd:

  • Rudin, Walter. Real and complex analysis, 3. útgáfa. 1987. McGraw-Hill publishing co.
  • Skýringarmynd af kúptu falli fengin af Wikipedia.
...