Ef skjaldbaka byrjar kapphlaup við hest með 100 m forskoti, getur hann einhvern tímann náð henni?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Ef skjaldbaka byrjar kapphlaup við hest með 100 m forskoti, getur hann einhvern tímann náð henni?
Spurningunni hér að ofan hafa menn velt fyrir sér frá því um 450 f. Kr. en þá setti Zenón, grískur heimspekingur sem bjó í borginni Elea á suður Ítalíu, fram eftirfarandi þverstæðu (og kallaði til leiks Akkilles þann er var mestur kappi í liði Grikkja við Trjóuborg):

Akkilles þreytir kapphlaup við skjaldböku en gefur henni tíu feta forskot. Þegar Akkilles hefur hlaupið þessi tíu fet hefur skjaldbakan komist eitt fet í viðbót og þegar Akkilles hefur hlaupið það fet er hin viðsjála skjaldbaka komin einn tíunda úr feti til viðbótar fram á veginn og svo koll af kolli. Akkilles nær henni aldrei.

Segja má að þverstæða Zenóns spretti úr þeim jarðvegi sem umlykur rætur stærðfræðinnar sem fræðigreinar og hér verður í stuttu máli freistað að varpa ljósi á hið sögulega samhengi sem ól þverstæðuna af sér sem og á hana sjálfa.

Á 6. öld f. Kr. komu stærðfræðingarnir Þales frá Míletos og Pýþagóras fram á sjónarsvið grískrar fornmenningar og áttu sannarlega eftir að láta að sér kveða. Í sögu stærðfræðinnar er Þales oft kallaður fyrsti eiginlegi stærðfræðingurinn því hann er talinn hafa fyrstur manna sett á formlegan hátt fram stærðfræðilegar fullyrðingar (setningar) ásamt formlegum sönnunum. Gjarnan eru tilgreindar í þessu sambandi nokkrar setningar úr rúmfræði, þeirra á meðal setning sem segir að sé horn innritað í hálfhring hljóti það að vera rétt horn. Pýþagóras var yngri en Þales og sumir hafa talið hann vera lærisvein Þalesar. Pýþagóras stofnaði fræðasamfélag sem var virt á sviði heimspeki, stærðfræði og náttúruvísinda en þróaðist í einskonar leynireglu helgaða fræðimennskunni. Fylgismenn hans í leynireglunni kölluðust Pýþagóringar. Pýþagóringar deildu með sér veraldlegum og andlegum eigum en kenndu fræðilegar niðurstöður við meistarann. Enginn veit því með vissu hve mikið af þeim niðurstöðum í stærðfræði sem eignaðar eru Pýþagórasi eru í raun frá honum sjálfum komnar.

Segja má að rauði þráðurinn í kenningum Pýþagóringa hafi verið sá að allt eigi sér rætur í tölum, að tölur séu einskonar frumeindir allra fyrirbrigða. Þeir skipuðu tölum, hlutföllum talna og reikningi í öndvegi stærðfræði sinnar og gerðu talnafræði hærra undir höfði en rúmfræði. Rúmfræði var hinsvegar komin í aðalhlutverkið hjá Forn-Grikkjum tveimur öldum síðar eins og ritverkið Undirstöður eftir Evklíð ber glöggt vitni um.

Um 450 f. Kr. létu grískir heimspekingar í borginni Elea á sunnanverðri Ítalíu til sín taka undir forystu Parmenídesar. Undirstaðan í kenningum þessa svokallaða Eleaska-skóla snerist um heilleika tilverunnar. Sumir sagnfræðingar telja að þessa kenningu hafi Eleu-menn sett fram til höfuðs kenningum Pýþagóringa um tölulegar frumeindir og að tími og rúm byggðust upp af augnablikum og punktum sem sjálf væru óskiptanleg. Frægasti lærisveinn Parmenídesar var Zenón, sem að framan er getið, en hann leitaðist við að rökstyðja að í kenningum Pýþagóringa mætti finna mótsagnir. Í raun nýtti Zenón sér það í þverstæðum sínum, sem eru fleiri en sú sem hér er fjallað um, að sama hve augnablik Pýþagóringa væru stutt og punktar þeirra litlir, þá nær hinn stærðfræðilegi útgangspunktur þeirra ekki að endurspegla samfellu tíma og rúms.

Hér má sjá Zenón sýna lærlingum dyrnar að sannleik (veritas) og ósannindum (falsitas).

Í stuttu máli má segja að fræðimenn hins Eleaska-skóla hafi stigið fyrstu skrefin í þá átt að reyna að skilja stærðfræðilegu hugtökin örsmæð og óendanlega summu þ.e. summu óendanlega margra liða. Þessi stærðfræðihugtök eru nokkuð flókin og reynast nátengd markgildishugtakinu sem fékk ekki fullnægjandi stærðfræðilega fótfestu fyrr en á 19. öld. Það að summa óendanlega margra jákvæðra liða geti verið endanleg stærð var sem sagt stærðfræðileg hugsun sem Grikkir höfðu ekki á valdi sínu.

Víkjum þá aftur að spurningunni sem hér var varpað fram. Svarið við henni felst í rauninni í því hvort stærðfræðilega sé unnt að líta á endanlega vegalengd sem summu óendanlega margra eiginlegra hluta sinna (af tölulegri lengd). Ef við nýtum okkur upplýsingarnar um forskotið og gerum ráð fyrir að hraði hestsins sé tífaldur hraði skjaldbökunnar þá er vegalengdin sem hún fer eftir að hesturinn leggur af stað, mæld í metrum, 10 + 1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + . . . og svo framvegis. Þessa óendanlegu summu má reikna út sem markgildi með aðferðum stærðfræðigreiningar og útkoman er 100/9 (þ.e. 11,1111111111 . . . ). Hesturinn nær skjaldbökunni góðu þegar hún hefur farið 100/9 metra og hann sjálfur 100 metrum meira en það. Til gamans má geta þess að sama niðurstaða fæst ef vegalengdin er reiknuð út með formúlu eðlisfræðinnar sem tilgreinir sambandið á milli hraða, tíma og vegalengdar, svo stærðfræðin nær að endurspegla raunveruleikann.

Eftir því sem hér hefur verið rakið fæst ekki stærðfræðilegur botn í framangreinda þverstæðu Zenóns fyrr en hugtökunum markgildi og óendanlegri summu, sem eru nátengd samfellu-hugtakinu, hafa verið gerð fullnægjandi fræðileg skil. Og fróðlegt kann að teljast að það skyldi taka stærðfræðinga í raun 23 aldir að ná þessu marki. Það eru greinilega fleiri en skjaldbökur sem komast þótt hægt fari, eða hvernig var það annars komst hún í mark?

Heimildir:

• Beckmann, Petr. 1971. A History of P (Pi), New York, St. Martin´s Press.
• Boyer, Carl B. 1968. A History of Mathematics, New York, John Wiley & Sons, Inc.
• Eves, Howard. 1963. An Introduction to the History of Mathematics New York, Holt, Reinhart and Winston.
• Struik, Dirk J. 1966. A Concise History of Mathematics New York, Dover Publications, Inc.

Myndir:

• Wikipedia. Mynd af Pýþagórasi. Sótt 18. 7. 2011.
• Wikipedia. Mynd af Zenón með lærlingum. Sótt 18. 7. 2011.

...