Hvernig er sagan af því þegar Perelman leysti Poincaré-tilgátuna?

Svar

Alþjóðlega stærðfræðistofnunin (e. International Mathematical Union) er yfirleitt talin nokkurs konar æðsta vald í stærðfræði á alþjóðavettvangi. Stofnunin skipuleggur meðal annars heimsþing stærðfræðinga og veitir svokölluð Fields-verðlaun í greininni á fjögurra ára fresti. Verðlaunin þykja samsvara nokkurs konar Nóbelsverðlaunum og eru ætluð sem hvatning fyrir unga stærðfræðinga. Þau geta því aðeins fallið í skaut fræðimanna sem ekki hafa náð 40 ára aldri.

Í ágúst 2006 voru Fields-verðlaunin veitt í 16. sinn. Það gerðist þá í fyrsta skipti að einn verðlaunahafinn, Rússinn Grigori Perelman (f. 1966), neitaði að taka á móti verðlaununum. Þetta vakti auðskiljanlega allnokkra athygli, enda þykir framlag Perelmans til stærðfræði afar mikilvægt. Hann leysti hina svokölluðu Poincaré-tilgátu í grannfræði (e. topology) sem fjallar um mögulega uppbyggingu á þrívíðu rúmi. Franski stærðfræðingurinn Henri Poinarcé (1854-1912) setti tilgátuna fram snemma á 20. öld og reyndi sjálfur að færa sönnur á hana, en án árangurs. Í tæp hundrað ár var Poincaré-tilgátan eitt helsta óleysta vandamálið í grannfræði og jafnvel stærðfræði almennt.

Á tíma Poincarés fóru menn að velta fyrir sér eiginleikum rúms með fleiri en tveimur víddum. Þannig er til að mynda hægt að hugsa sér margs konar þrívíð rúm, til dæmis í laginu eins og kúla eða kleinuhringur. Poincaré-tilgátan er í stuttu máli sú að sé hægt að draga saman sérhvern lokaðan feril eða lykkju í einn punkt í þrívíðu rúmi þá sé rúmið þrívítt kúluhvel (e. three-dimensional sphere). Þekkt hafði verið frá því á 19. öld að þetta gilti um tvívítt rúm, það er að ef draga mætti saman sérhvern feril í punkt í tvívíðu rúmi þá væri rúmið yfirborð kúlu, einnig kallað tvívítt kúluhvel. Síðar var sýnt fram á að samsvarandi regla gilti um rúm í öllum hærri víddum nema þrívídd; menn gátu hvorki sannað né afsannað að reglan gildi um hana. Clay-stærðfræðistofnunin (e. Clay Mathematics Institute) lofaði árið 2000 hverjum þeim sem leysti Poincaré-tilgátuna verðlaunum að andvirði einni milljón Bandaríkjadala.

Svo bar það til að Grigori Perelman, sem starfaði á þessum tíma á Steklov-stofnuninni í Sankti-Pétursborg, setti árið 2002 grein á internetið með sönnun á Poincaré-tilgátunni. Aðferðinni var að vísu ekki lýst í smáatriðum heldur einungis grófum dráttum. Aðrir stærðfræðingar fylltu svo inn í eyðurnar og sannfærðust um að sönnunin væri réttmæt. Þetta leiddi að lokum til þess að Perelman var boðin Fields-verðlaunin fyrrnefndu. Forseti Alþjóðlegu stærðfræðistofnunarinnar, Sir John Ball, fór þá til Rússlands á fund Perelmans og gerði honum grein fyrir að þrír kostir væru í stöðunni: Hann gæti þegið verðlaunin og mætt á verðlaunaafhendinguna, þegið þau en mætt ekki eða hafnað þeim alfarið. Perelman tjáði Ball að hann hafi frá upphafi verið ákveðinn í að taka ekki við verðlaununum, enda skiptu þau hann engu máli. Eina viðurkenningin sem honum fyndist einhvers virði væri að fólk samþykkti að sönnun hans á Poincaré-tilgátunni væri rétt. Við þetta sat.

Perelman virðist nú hættur flestum afskiptum af stærðfræði; hann sagði starfi sínu hjá Steklov-stofnuninni lausu árið 2003 og býr með móður sinni í Sankti-Pétursborg. Mögulegt er að honum verði boðin verðlaun Clay-stofnunarinnar en ekkert er víst að hann vilji taka við þeim frekar en Fields-verðlaununum. Þó er ljóst að lausn Perelmans á Poincaré-tilgátunni er stórt framfaraskref í stærðfræði.

Frekara lesefni á Vísindavefnum

• Getið þið sannað Goldbach-tilgátuna? eftir Gunnar Þór Magnússon.
• Getur rúmið sem við hrærumst í haft fleiri víddir en þær þrjár sem við eigum að venjast? eftir Lárus Thorlacius.
• Hefur tilgáta Riemanns verið sönnuð? eftir Ragnar Sigurðsson.
• Hvernig er best að lýsa Riemann-flötum? eftir Robert Magnus.
• Hvers vegna eru Nóbelsverðlaun ekki veitt í stærðfræði? eftir Rögnvald G. Möller.