Senda inn spurningu
Sólin Sólin Rís 05:51 • sest 21:06 í Reykjavík
Tunglið Tunglið Rís 09:47 • Sest 06:52 í Reykjavík
Flóð Flóð Árdegis: 00:02 • Síðdegis: 12:48 í Reykjavík
Fjaran Fjara Árdegis: 06:36 • Síðdegis: 18:53 í Reykjavík
Visit the English version

Flokkun:

Náttúruvísindi og verkfræði Stærðfræði

Getið þið sannað Goldbach-tilgátuna?

Gunnar Þór Magnússon

Upphaflega hljóðaði spurningin svona:
„Sérhver slétt tala stærri en 4 er samlagning tveggja prímtalna stærri en 2.“, Getið þið reddað mér um sönnun?

Í stuttu máli: Nei.

Setningin sem um ræðir er kölluð Goldbach-tilgátan meðal stærðfræðinga og er eitt af frægustu óleystu vandamálum stærðfræðinnar. Saga hennar nær aftur til ársins 1742 þegar prússneski stærðfræðingurinn Christian Goldbach (1690-1764) setti hana fram í bréfi til svissneska stærð-og eðlisfræðingsins Leonard Euler (1707-1783). Í bréfinu var tilgátan orðuð á eftirfarandi hátt:
Sérhverja heiltölu stærri en 2 má skrifa sem summu þriggja prímtalna
en þess ber að geta að Goldbach taldi töluna 1 til prímtalna. Það er hins vegar ekki gert í dag og í svari sínu setti Euler tilgátuna fram í því formi sem við þekkjum í dag:
Sérhverja slétta tölu stærri en 2 má skrifa sem summu tveggja prímtalna
Þar sem tilgáta Goldbachs þykir nokkuð auðskilin hafa fjölmargir áhugamenn um stærðfræði reynt að spreyta sig á því að sanna hana. Þetta hefur hins vegar valdið mörgum stærðfræðingum hugarangri, þar sem þeir fá sendar fjölmargar og misgallaðar sannanir sem sendandinn vill fá yfirfarnar og endurbættar til baka.

Þó ekki hafi tekist að sanna tilgátu Goldbach hafa stærðfræðingar samt sem áður náð talsverðum árangri. Búið er að prófa tilgátuna fyrir allar sléttar tölur upp að 1014 og árið 1930 var sannað að allar sléttar tölur eru summa af í mesta lagi 300.000 prímtölum. Árið 1995 var þessi niðurstaða bætt töluvert og nú er vitað að sérhver slétt tala er summa af í mesta lagi 6 prímtölum. Einnig hefur tekist að sanna að allar nægilega stórar sléttar tölur eru annað hvort summa tveggja prímtalna eða prímtölu og margfeldi tveggja prímtalna.

Til er svipuð tilgáta sem kölluð er veika Goldbach-tilgátan, en hún segir að allar oddatölur stærri en 5 séu summa þriggja prímtalna. Það hefur gengið talsvert betur að sanna hana því upp úr 1940 tókst Ivan Vinogradov (1891-1983) og nemanda hans K.G. Borozdkin að sanna að allar oddatölur stærri en 2715 eru summa þriggja prímtalna. Þetta mat þeirra hefur síðan verið bætt og tilgátan hefur nú verið sönnuð fyrir allar tölur stærri en e3100 sem er um það bil 2∙101346.

Það vantar því ekki mikið upp á til að sanna veiku tilgátuna stærðfræðilega séð, þar sem aðeins á eftir að skoða endanlega mörg tilfelli. Því miður eru tilfellin það mörg að miðað við tölvukost okkar í dag er óraunhæft að skoða þau öll og því hefur aðeins verið hægt að prófa fyrstu 1017 tölurnar. Til er sönnun sem byggir á almennu Riemann tilgátunni, en eins og nafnið bendir til hefur almenna Riemann tilgátan ekki verið sönnuð og því er sú sönnun ekki mikils virði.

Vert er að minnast á að hvort sem Goldbach-tilgátan er sönnuð eða afsönnuð mun það ekki hafa nokkur áhrif á umheiminn þar sem engin hagnýting hefur enn fundist af henni. Þeir stærðfræðingar sem vinna að tilgátunni gera það því annað hvort sér til yndisauka eða fyrir frægðina sem því myndi fylgja að leysa jafn gamalt og þekkt vandamál.

Áhugaverðar heimasíður um Goldbach-tilgátuna:
  • Hér getið þið hjálpað til við að prófa Goldbach tilgátuna: ieeta.pt
  • Hér getið þið slegið inn tölu og athugað hvort Goldbach tilgátan gildir um hana: wims.unice.fr

Frekara lesefni á Vísindavefnum:

Heimildir:

Höfundur

Gunnar Þór Magnússon

Gunnar Þór Magnússon

stærðfræðingur

Útgáfudagur

27.7.2006

Spyrjandi

Sigtryggur Oliversson

Efnisorð

Tilvísun

Gunnar Þór Magnússon. „Getið þið sannað Goldbach-tilgátuna?“ Vísindavefurinn, 27. júlí 2006. Sótt 16. apríl 2024. http://visindavefur.is/svar.php?id=6090.

Gunnar Þór Magnússon. (2006, 27. júlí). Getið þið sannað Goldbach-tilgátuna? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=6090

Gunnar Þór Magnússon. „Getið þið sannað Goldbach-tilgátuna?“ Vísindavefurinn. 27. júl. 2006. Vefsíða. 16. apr. 2024. <http://visindavefur.is/svar.php?id=6090>.

Chicago | APA | MLA

Þessi síða notar vafrakökur Nánari upplýsingar

Ég samþykki
Spyrja

Sendu inn spurningu LeiðbeiningarTil baka

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=

Senda grein til vinar

=

Getið þið sannað Goldbach-tilgátuna?
Upphaflega hljóðaði spurningin svona:

„Sérhver slétt tala stærri en 4 er samlagning tveggja prímtalna stærri en 2.“, Getið þið reddað mér um sönnun?

Í stuttu máli: Nei.

Setningin sem um ræðir er kölluð Goldbach-tilgátan meðal stærðfræðinga og er eitt af frægustu óleystu vandamálum stærðfræðinnar. Saga hennar nær aftur til ársins 1742 þegar prússneski stærðfræðingurinn Christian Goldbach (1690-1764) setti hana fram í bréfi til svissneska stærð-og eðlisfræðingsins Leonard Euler (1707-1783). Í bréfinu var tilgátan orðuð á eftirfarandi hátt:
Sérhverja heiltölu stærri en 2 má skrifa sem summu þriggja prímtalna
en þess ber að geta að Goldbach taldi töluna 1 til prímtalna. Það er hins vegar ekki gert í dag og í svari sínu setti Euler tilgátuna fram í því formi sem við þekkjum í dag:
Sérhverja slétta tölu stærri en 2 má skrifa sem summu tveggja prímtalna
Þar sem tilgáta Goldbachs þykir nokkuð auðskilin hafa fjölmargir áhugamenn um stærðfræði reynt að spreyta sig á því að sanna hana. Þetta hefur hins vegar valdið mörgum stærðfræðingum hugarangri, þar sem þeir fá sendar fjölmargar og misgallaðar sannanir sem sendandinn vill fá yfirfarnar og endurbættar til baka.

Þó ekki hafi tekist að sanna tilgátu Goldbach hafa stærðfræðingar samt sem áður náð talsverðum árangri. Búið er að prófa tilgátuna fyrir allar sléttar tölur upp að 1014 og árið 1930 var sannað að allar sléttar tölur eru summa af í mesta lagi 300.000 prímtölum. Árið 1995 var þessi niðurstaða bætt töluvert og nú er vitað að sérhver slétt tala er summa af í mesta lagi 6 prímtölum. Einnig hefur tekist að sanna að allar nægilega stórar sléttar tölur eru annað hvort summa tveggja prímtalna eða prímtölu og margfeldi tveggja prímtalna.

Til er svipuð tilgáta sem kölluð er veika Goldbach-tilgátan, en hún segir að allar oddatölur stærri en 5 séu summa þriggja prímtalna. Það hefur gengið talsvert betur að sanna hana því upp úr 1940 tókst Ivan Vinogradov (1891-1983) og nemanda hans K.G. Borozdkin að sanna að allar oddatölur stærri en 2715 eru summa þriggja prímtalna. Þetta mat þeirra hefur síðan verið bætt og tilgátan hefur nú verið sönnuð fyrir allar tölur stærri en e3100 sem er um það bil 2∙101346.

Það vantar því ekki mikið upp á til að sanna veiku tilgátuna stærðfræðilega séð, þar sem aðeins á eftir að skoða endanlega mörg tilfelli. Því miður eru tilfellin það mörg að miðað við tölvukost okkar í dag er óraunhæft að skoða þau öll og því hefur aðeins verið hægt að prófa fyrstu 1017 tölurnar. Til er sönnun sem byggir á almennu Riemann tilgátunni, en eins og nafnið bendir til hefur almenna Riemann tilgátan ekki verið sönnuð og því er sú sönnun ekki mikils virði.

Vert er að minnast á að hvort sem Goldbach-tilgátan er sönnuð eða afsönnuð mun það ekki hafa nokkur áhrif á umheiminn þar sem engin hagnýting hefur enn fundist af henni. Þeir stærðfræðingar sem vinna að tilgátunni gera það því annað hvort sér til yndisauka eða fyrir frægðina sem því myndi fylgja að leysa jafn gamalt og þekkt vandamál.

Áhugaverðar heimasíður um Goldbach-tilgátuna:
  • Hér getið þið hjálpað til við að prófa Goldbach tilgátuna: ieeta.pt
  • Hér getið þið slegið inn tölu og athugað hvort Goldbach tilgátan gildir um hana: wims.unice.fr

Frekara lesefni á Vísindavefnum:

Heimildir:...