Hver var Gottfried Wilhelm Leibniz og hvert var framlag hans til stærðfræðinnar?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hver var Gottfried Wilhelm Leibniz og hvert var framlag hans til stærðfræðinnar?
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) var þýskur heimspekingur og stærðfræðingur, og reyndar lögfræðingur, diplómat, sagnfræðingur og uppfinningamaður, svo eitthvað sé nefnt. Hann er þekktastur fyrir að leggja, samhliða Isaac Newton, grunninn að örsmæðareikningnum, einni hagnýtustu grein stærðfræðinnar, og gefa honum hentugan (og himneskan) örsmæðarithátt:

$\displaystyle \frac{dy}{dx}$ $\;$ fyrir diffrun $\quad$ og $\quad$ $\displaystyle \int f(x) dx$ $\;$ fyrir tegrun.

En Leibniz lét til sín taka á fjölmörgum öðrum sviðum, eins og tæpt verður á hér á eftir.

Leibniz fæddist í Leipzig í Saxlandi árið 1646, við lok þrjátíu ára stríðsins. Faðir hans var siðfræðiprófessor við Leipzigháskóla, en hann lést þegar Leibniz var sex ára. Talið er að móðir Leibniz hafi innrætt honum þau lífsviðhorf sem mótuðu heimspeki hans. Hann erfði bókasafn föður síns, þar sem var að finna fjölda heimspeki- og guðfræðirita, einkum á latínu. Mun Leibniz hafa sótt í þau og verið orðinn fullfær í latínu um 12 ára aldur fyrir vikið, en hann skrifaði mörg rita sinna á því máli.

Leibniz hóf nám við Leipzigháskóla þegar hann var 14 ára og lauk BA-prófi í heimspeki í desember 1662 og meistaraprófi í febrúar 1664. Meistararitgerðin hans hét De Principio Individui og var hún forboði hugmyndarinnar um mónöður (e. monad) sem komið verður að hér á eftir. Sumarið 1663 hafði Leibniz dvalið við nám í Jena og kynntist þar stærðfræði, en hún var illa kennd í Leipzig. Í september 1665 lauk hann prófi í lögfræði. Árið 1666, tvítugur að aldri, gaf hann út sína fyrstu bók, Disertatio de arte combinatoria, en fyrsti hluti hennar var hæfisritgerð hans í heimspeki. Næsta ætlunarverk Leibniz var að taka doktorspróf í lögfræði það sama ár, en að jafnaði tók það þrjú ár. Hann hefur hins vegar þótt of ungur og var meinað að taka prófið. Leibniz fór því frá Leipzig í fússi í september 1666 og skráði sig í Altdorfháskóla við Nürnberg. Þar varði hann doktorsritgerð sína í lögfræði og fékk starfsleyfi nokkrum mánuðum síðar. Leibniz var boðin staða við Altdorfháskólann en þáði hana ekki, hugsanlega vegna þess að fjölfræðingnum hugnaðist ekki deildahólfun háskólanna. Hann starfaði það sem eftir var ævinnar í þjónustu tveggja þýskra aðalsætta.

Árið 1667 varð Leibniz ritari félags alkemista í Nürnberg og kynntist þá baróninum Johann Christian von Boineburg, sem var mikill áhrifamaður í þýskum stjórnmálum á þeim tíma. Þeir urðu vinir og í nóvember 1667 gekk Leibniz í þjónustu Boineburg og settist að í Frankfurt. Næstu árin kom hann að margs konar verkefnum sem snertu vísindi, ritstörf og stjórnmál. Meðal annars vann hann að því að sætta kaþólsku og lútersku, sem var eitt af hugðarefnum hans alla ævi. Leibniz hóf einnig rannsóknir á hreyfingu til að skýra á almennan hátt niðurstöður Christophers Wren og Christiaans Huygens um fjaðrandi árekstra.

Boineburg kynnti Leibniz fyrir kjörfurstanum af Mainz. Leibniz tileinkaði honum lögfræðiritgerð og komst í kjölfarið í náð hjá honum. Þýskumælandi lönd í Evrópu voru illa leikin eftir þrjátíu ára stríðið og margir óttuðust innrás frá Frakklandi. Leibniz lagði til að þessu yrði afstýrt með því að beina athygli Frakka að Egyptalandi, sem myndi opna þeim leið til hollensku Austur-Indía. Kjörfurstinn féllst á þessa tillögu og árið 1672 bauð ríkisstjórn Frakklands Leibniz til Parísar til að ræða málin. Ekkert varð þó úr þessu vegna þess að stríð braust út milli Frakklands og Hollands. Segja má að Napóleon hafi óafvitandi hrint áætlun Leibniz í framkvæmd með mislukkaðri innrás sinni í Egyptaland árið 1798.

En þannig atvikaðist það að Leibniz dvaldist um skeið í París, suðupotti heimspeki og vísinda í aðdraganda upplýsingarinnar. Þar nam hann stærð- og eðlisfræði af Christiaan Huygens haustið 1672. Meðal annars kynnti hann sér óendanlegar raðir og gerði nokkrar uppgötvanir um þær sjálfur. Boineburg sendi son sinn til Parísar að læra hjá Leibniz, og þar með var fjárhagsleg afkoma Leibniz tryggð. Frændi Boineburgs kom með syninum í þeim erindagjörðum að fá Loðvík 14. til að koma á friðarráðstefnu. Boineburg lést í desember 1672, en Leibniz naut áfram stuðnings ekkju hans fram til 1675.

Í janúar 1673 hélt Leibniz ásamt frændanum til Englands í sams konar erindagjörðum á vegum kjörfurstans af Meinz eftir að friðarferðin til Frakklands hafði mistekist. Þar kynnti Leibniz reiknivél, sem hann var að hanna, í Konunglega vísindafélaginu, en hann bætti margföldun og deilingu við reiknivél Pascals og fann upp svokallað Leibniz-hjól, sem notað var í fyrstu fjöldaframleiddu reiknivélina. Honum var veitt innganga í Konunglega vísindafélagið í apríl það ár. Í þessari ferð ræddi Leibniz við Hooke, Boyle og Pell og komst þá meðal annars að raun um að niðurstöður sem hann hafði leitt út um óendanlegar raðir væru þekktar. Við fráfall kjörfurstans af Mainz þá um vorið hvarf hann aftur til Parísar. Eftir Lundúnaferðina gerði Leibniz sér grein fyrir að hann ætti mikið eftir ólært í stærðfræði. Hann sökkti sér nú niður í hana og breyttist fljótt úr byrjanda í skapandi snilling. Næstu árin þróaði hann örsmæðareikning sinn.

Örsmæðahugmyndir má rekja aftur til Forngrikkja og þær lágu í loftinu á 17. öld. Árið 1674 nefndi Leibniz örsmæðareikning í bréfi til Oldenburgs í Konunglega vísindafélaginu og fékk það svar að Newton og Gregory hefðu þegar fundið almennar aðferðir af því tagi. Upp úr þessu áttu Newton og Leibniz í bréfaskriftum, en í þeim koma aðferðir Newtons aldrei fram. Newton gerði uppgötvanir sínar á árunum 1666-67, en birti þær ekki fyrr en Principia kom út árið 1687. Leibniz birti diffurreikning sinn árið 1684 og tegurreikninginn árið 1686. Ekki er unnt að staðfesta með vissu hversu mikið Leibniz vissi um aðferðir Newtons þegar hann þróaði örsmæðareikning sinn. Hins vegar fer það ekki á milli mála að aðferðir hans eru öðruvísi en Newtons og rithátturinn gjörólíkur og miklu hentugri til reikninga.

Örsmæðaritháttur Leibniz leiddi til forskots meginlandsmanna í stærðfræði í meira en öld vegna fastheldni Breta á aðferðir Newtons. Þrátt fyrir þetta voru örsmæðir yfirleitt litnar hornauga. Örsmæð er tala sem er óendanlega nálægt núll en samt ekki núll - hvers konar tala er það? Örsmæðum var stundum lýst sem tölum á hreyfingu sem minnka niður í ekki neitt. Fræg er athugasemd Berkeleys biskups, sem kallaði örsmæðir „ghosts of departed quantities“, eða vofur horfinna stærða. Á 19. öld var hugtakið markgildi loks formlega skilgreint og þá var hægt að nota markgildi í stað örsmæða til að setja „örsmæðareikninginn“ fram á þann trausta hátt sem síðan hefur tíðkast. En örsmæðarithátturinn lifði þetta af. Og utan stærðfræðinnar, eins og í eðlisfræði, leyfðu menn sér áfram að beita örsmæðahugsun. Upp úr 1960 fékk Leibniz svo uppreisn æru, en þá sýndi Abraham Robinson loks fram á formlega tilvist örsmæða. Til þess þurfti háþróaða nútíma rökfræði og af þeim sökum hefur þessi endurreista örsmæðaaðferð ekki enn ógnað veldi markgildisaðferðarinnar.

Diffrun má hugsa þannig að $dx$ sé örlítil breyting á $x$ sem hafi í för með sér örlitla breytingu $dy$ á $y$ og að hallatalan $dy/dx$ sé hraði breytingarinnar. Ef $dx$ og $dy$ væru ekki örsmæðir heldur núll, mætti þetta ekki - $0/0$ er merkingarleysa. Tegrun má hugsa þannig að heildarflatarmálið undir grafi $f$ sé summan af flatarmálum örmjórra strimla af hæð $f(x)$ og breidd $dx$. Táknið $\int$ fyrir tegur er gamalt aflangt S og stendur fyrir summu. Leibniz glímdi lengi við að finna góðan rithátt fyrir örsmæðareikning sinn, en í handriti frá 21. nóvember 1675 notar hann ritháttinn $\int f(x)dx$ í fyrsta sinn. Þar setur hann einnig fram regluna

$$\frac{d(x^n)}{dx} = n x^{n-1}$$

fyrir heilar og ræðar tölur $n$, sem og margfeldisregluna

$$\frac{d(yz)}{dx} = y \cdot \frac{dz}{dx} + z \cdot \frac{dy}{dx}$$

Í bréfi til Newtons ári síðar setur hann fram keðjuregluna, en hún er sérlega eftirminnileg í örsmæðarithætti:

$$\frac{dz}{dx} = \frac{dz}{dy} \cdot \frac{dy}{dx}$$

Takið eftir að örsmæðin $dy$ er bæði fyrir ofan og neðan strik og styttist þess vegna út.

Árið 1676 neyddist Leibniz til að yfirgefa París af fjárhagsástæðum og þiggja starf í Hannover hjá hertoganum af Brunswick. Á leið sinni til Hannover fór hann um London og svo um Haag þar sem hann hitti Leeuwenhoek, sem uppgötvaði tilvist örvera, og heimspekinginn Spinoza, sem hann ræddi við dögum saman. Leibniz virti Spinoza fyrir vitsmuni hans en óaði við ályktunum hans, sem gengu gegn bæði kristilegum og gyðinglegum rétttrúnaði.

Hjá Brunswickættinni starfaði Leibniz til æviloka sem bókavörður, ráðgjafi og sagnritari. Eitt þeirra verka sem hann tók að sér var að dæla vatni úr námum í Harz-fjöllum. Til þess þróaði hann dælur og vindmyllur, sem skiluðu þó ekki tilætluðum árangri. Vegna þessa verkefnis varð hann einn af frumkvöðlum jarðfræðinnar. Hann setti meðal annars fram þá kenningu að jörðin hafi í upphafi verið bráðin. Brunswickmenn leyfðu Leibniz að fara sínu fram í heimspeki og stærðfræði. Árið 1679 lauk hann við þróun sína á tvíundarkerfinu, en birti ekki niðurstöðurnar fyrr en 1701, þegar hann var kosinn inn í Parísarakademíuna. Tvíundarkerfið liggur til grundvallar tölvum nútímans. Annað verk sem hann fékkst við var notkun ákveða til að leysa jöfnuhneppi. Hann leitaði lengi að rithætti fyrir þetta og í óbirtri grein frá 1684 er að finna mjög góðan rithátt og niðurstöður. Í hreyfifræði lagði Leibniz áherslu á að það sem nú kallast hreyfiorka sé meira grundvallarhugtak en skriðþungi, sem var grundvallarhugtak hjá Descartes. Leibniz hafði um margt aðrar hugmyndir um eðlisfræði en Newton og eru sumar þeirra í meira samræmi við eðlisfræði 20. aldar. Til dæmis var hann andvígur hugmynd Newtons um hið algilda rúm.

Í heimspekiriti sínu Théodicée, sem kom út árið 1710, hélt hann því fram að heimurinn geti ekki verið fullkominn því þá væri ekki hægt að aðgreina hann frá guði. Heimurinn sé hins vegar sá besti sem guð gat skapað. Ef til dæmis ætti að útiloka náttúruhamfarir yrði að breyta náttúrulögmálunum, sem hefði í för með sér verri heim. Í ritinu Monadologia, sem kom út árið 1714, setti hann heimspekihugmyndir sínar fram á skipulegan hátt. Einn meginþáttur þeirra er sú kenning að heimurinn samanstandi af einangruðum mónöðum. Manneskjur séu meðal annars dæmi um mónöður. Þetta er einhvers konar hughyggjuútgáfa af atómhugmynd efnishyggjunnar. Leibniz var, ásamt Descartes og Spinoza, einn þriggja fremstu rökhyggjumanna 17. aldar. Rökfræði hans vísar bæði fram til nútímarökfræði og greiningarheimspeki og aftur til skólaspeki, þar sem niðurstöður eru leiddar af frumsendum en ekki byggðar á reynslu.

Leibniz tók að sér að skrifa sögu Brunswickættarinnar allt frá dögum Karls mikla. Á árunum 1687-90 ferðaðist hann um Þýskaland, Austurríki og Ítalíu og gróf upp gögn sem lutu að þessu verkefni. Á þessum ferðum sinnti hann einnig öðrum hugðarefnum sínum. Í Flórens átti hann til dæmis samræður við Viviani, síðasta nemanda Galíleós. Áratugir liðu og aldrei kom nein bók. Brunswickættin hefði sennilega verið hæstánægð með stuttan auglýsingabækling, en þegar allt efnið sem Leibniz hafði samviskusamlega safnað var loksins gefið út á 19. öld fyllti það þrjú bindi.

Árið 1714 varð höfuð ættarinnar, Georg Ludwig kjörfursti, konungur Stóra-Bretlands. Þótt Leibniz hafi átt drjúgan þátt í að svo varð, og þótt hann nyti stuðnings prinsessunnar af Wales, leyfði Georg honum ekki að flytja með sér til London þar til minnst eitt bindi af ættarsögunni, sem faðir hans hafði pantað næstum 30 árum áður, væri komið út. Hér hefur sennilega líka komið til að konungur vildi ekki móðga Newton með því að gera Leibniz að hirðmanni, en frá 1711 hafði Leibniz þurft að verjast heiftarlegum ásökunum um að hann hefði stolið örsmæðareikningnum frá Newton. Eini stuðningsmaður Leibniz í baráttunni gegn þessari ófrægingarherferð var Johann Bernoulli.

Leibniz lést 14. nóvember árið 1716 í Hannover, heilsulaus og þjakaður af þvagsýrugigt, yfirgefinn og stimplaður guðleysingi. Hann var ógiftur og enginn úr hirðinni nema ritari hans var viðstaddur jarðarförina. Leibniz var grafinn í ómerktri gröf, en síðar var sett á hana koparplata. Hvorki Konunglega vísindafélagið né Vísindaakademía Berlínar minntust hans. Að undirlagi hertogynjunnar af Orléans, sem var frænka vinkonu hans Sophiu kjörfurstynju, flutti Fontenelle minningarorð um Leibniz í Vísindaakademíu Parísar.

Leibniz var einn síðasti fjölfræðingurinn og hann var ófeiminn við að glíma við framandi verkefni á aðskiljanlegustu sviðum mannsandans. Með framlagi sínu til stærðfræði lagði hann hins vegar þungt lóð á þá vogarskál sem gerir nútímamönnum ókleift að vera fjölfræðingar.

Heimildir og frekara lesefni:

• Gottfried Wilhelm von Leibniz á The MacTutor History of Mathematics archive.
• Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646 - 1716). Úr A Short Account of the History of Mathematics (4. útg., 1908) eftir W. W. Rouse Ball.
• Gottfried Leibniz á Wikpedia.org.

Mynd:

• en.wikipedia.org - Gottfried Leibniz Sótt 8.6.2011.

...