Hversu gamlar eru pýþagórískar þrenndir?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hversu gamlar eru pýþagórískar þrenndir?
Saga pýþagórískra þrennda er mun eldri en saga Pýþagórasar. Á leirtöflu frá Babýlon sem talin er vera frá um 1700 f. Kr. og er nefnd Plimpton 322 hafa fundist skýr merki um áhuga og þekkingu á pýþagórískum þrenndum.

Plimpton 322 leirtaflan.

Fyrstu línur töflunnar líta þannig út, aðlagaðar að nútímarithætti með fáeinum leiðréttingum og tilgátu um fimmta dálkinn, talinn frá hægri, það er y. Línurnar voru alls 15.

y	(d/y)2	x (breidd)	d (hornalína)	#
120	1,9834028	119	169	1
3456	1,9491586	3367	4.825	2
4800	1,9188021	4.601	6.649	3
13500	1,8862479	12.709	18.541	4
72	1,8150077	65	97	5
360	1,7851929	319	481	6

Lesið frá hægri eru fyrst gefnar tvær tölur, sem nefna má d og x. Í Plimpton 322 eru þessir dálkar nefndir breidd og hornalína. Auðvelt er að sjá að mismunurinn á öðru veldi af hornalínunni og öðru veldi af breiddinni er ferningstala. Síðan kemur hlutfallið \(\frac{d}{y}\) þar sem y er þriðja talan í þrenndinni þannig að x² + y² = d².

Talið er fullvíst að pýþagórískar þrenndir með svo háum tölum hafa ekki verið fundnar með ágiskun en ekki er vitað nákvæmlega hvernig þær voru fundnar. Fræðimenn hallast að því að það hafi verið gert með töluvert flóknum jöfnureikningum.

Hlutfallið \(\frac{d}{y}\) bendir til þess að leitað hafi verið heiltölulausna á jöfnunni \((\frac{x}{y})^{2}+1=(\frac{d}{y})^{2}\). Ef sett er \(u=\frac{x}{y}\) og \(v=\frac{d}{y}\) er leitað lausna á jöfnunni v² - u² = 1 eða (v + u)(v – u) = 1. Babýloníumenn notuðu brot með nefnaranum 60 og voru mjög leiknir í brotareikningi. Þeir höfðu búið til töflur yfir margföldunarandhverfur brota og áttu því auðvelt með að leysa slíkar jöfnur.

Ef til dæmis v – u = 4/9 er v + u = 9/4. Séu þessar jöfnur leystar saman fást u = 97/72 og u = 65/72. Margfaldað með y = 72 fást gildin x = 65 og d = 97. Þessa þrennd, 65 – 72 – 97 er að finna í Plimpton 322 töflunni, það er að segja 97, 65 og 97/72.

Hvort sem þessi tilgáta er rétt eða ekki ber texti leirtöflunnar vitni um háþróaða þekkingu á tölum hjá Babýloníumönnum þegar fyrir tæpum 4000 árum.

Á leirtöflunni eru það aðeins yfirskriftir dálkanna, breidd og hornalína, sem benda til flatarmyndar. Hins vegar eru til aðrar leirtöflur frá Babýloníu sem bera vitni um að Pýþagórasarregla hafi verið notuð á flatarmyndir, það er að segja að menn hafi vitað að í þríhyrningi sem hefði pýþagórískar þrenndir fyrir hliðar, væri rétt horn á móti lengstu hliðinni.

Ennfremur eru til heimildir um að bæði Indverjar og Kínverjar hafa þekkt pýþagórískar þrenndir á tímabilinu 1000 – 500 f. Kr.

Heimildir og mynd:

• Victor Katz: A History of Mathematics. An Introduction. HarperCollins College Publishers. New York. 1993.
• Asger Aaboe: Episodes from the Early History of Mathematics. Mathematical Association of America. New Mathematics Library, 1975.
• Mesopotamian Mathematics Page

...