Hvernig gátu stærðfræðingar fornaldar eins og Pýþagóras og fleiri reiknað og fundið allar formúlurnar sínar?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hvernig gátu stærðfræðingar fornaldar eins og Pýþagóras og fleiri reiknað og fundið allar formúlurnar sínar?
Í stuttu máli má segja að formúlurnar hafi sjaldnast verið uppgötvaðar af einum manni heldur hafi vitneskjan þróast árum og öldum saman þar til hún fékk þá einföldu og fáguðu mynd sem birtist í nútíma stærðfræðibókum.

Um miðja þúsöldina fyrir Krists burð hófst blómaskeið stærðfræði á grískumælandi menningarsvæði sem varð um tíma margfalt stærra en Grikkland eins og það er nú. Grikkir settu fram undirstöður stærðfræðinnar í skilgreiningum og frumreglum og út frá þessum forsendum var síðan leitt kerfi stærðfræðireglna. Æ síðan hafa þessi vinnubrögð að leiða reglur út frá frumreglum og áður sönnuðum reglum einkennt stærðfræðiiðkun.

Hér á eftir verða rakin nokkur dæmi um stærðfræðiformúlur og þróun þeirra.

Pýþagórasarregla

Snemma munu menn hafa tekið eftir því að lengdirnar 3 – 4 – 5 mynduðu þríhyrning þar sem rétt horn er milli skemmri hliðanna. Slík talnaþrenna er nefnd pýþagórísk þrennd og er hún kennd við Pýþagóras, grískan stærðfræðing sem var uppi 572-497 f. Kr. Pýþagórískar þrenndir og Pýþagórasarregla voru þó þekktar löngu fyrir daga Pýþagórasar, eins og hægt er að lesa um í svari við spurningunni Hversu gamlar eru pýþagórískar þrenndir?

Pýþagórasarregla segir að séu myndaðir ferningar út frá hliðum í rétthyrndum þríhyrningi þá sé summa ferninga af styttri hliðunum tveimur jöfn ferningnum af lengstu hliðinni á móti rétta horninu. Á máli algebrunnar er reglan a² + b² = c², þar sem a og b eru styttri hliðarnar tvær, nefndar skammhliðar, og c er lengsta hliðin, nefnd langhlið.

Pýþagóras var í Egyptalandi um tíma en einnig í Babýlóníu áður en hann settist að í nýlenduborginni Króton syðst á Ítalíu. Pýþagóras kom sér upp hópi lærisveina sem mynduðu bæði eins konar trúarhreyfingu og heimspekiskóla. Engar samtímaheimildir eru til um störf hópsins eða hugmyndir, aðeins rit sem eru mörgum öldum yngri. Höfuðkenning Pýþagóringa var að allir hlutir grundvölluðust á tölum. Tölur voru taldar í einingum. Pýþagóringar rannsökuðu til dæmis sléttar tölur og oddatölur.

Ein þeirra talnafræðireglna sem Pýþagóringar höfðu fundið var þessi: Ef talan n er oddatala er þrenndin \((n, \frac{n^{2}-1}{2}, \frac{n^{2}+1}{2})\) pýþagórísk þrennd og ef talan m er slétt tala er þrenndin \((m, (\frac{m}{2})^{2}-1, (\frac{m}{2})^{2}+1)\) pýþagórísk þrennd.

Ein skýring á því hvernig Pýþagóringar hafa fundið út þessa reglu getur verið sú að þeir vissu út frá ferningamyndum með einingum að sérhver oddatala er mismunur tveggja ferningstalna. Til að finna hliðar ferninganna, þrenndina sjálfa, þá er fyrst að taka oddatölu sem er ferningstala, draga 1 frá henni og helminga afganginn. Þá er komin hliðin í minni ferningnum. Hliðin í stærri ferningnum er einum lengri. Svipuð rök má færa fyrir seinni reglunni.

Dæmi: Oddaferningstalan er 9, drögum 1 frá, helmingum og fáum 4, sem er hliðin í minni ferningnum. Hliðin í stærri ferningnum er 5. Þá er komin pýþagóríska þrenndin 3 – 4 – 5.

Aðferð Arkímedesar

Það er engin nýlunda að menn furði sig á því hvernig Grikkir uppgötvuðu formúlur sínar. Oft var fullbúin regla sett fram og síðan sýnt fram á að allir aðrir kostir en að hún væri rétt leiddu til mótsagnar eða rökleysu. En tilurð hennar var samt ráðgáta. Þess vegna var það hvalreki á fjörur fræðimanna þegar einkabréf frá Arkímedes fannst árið 1899 í Jerúsalem. Arkímedes er talinn hafa verið mesti stærðfræðingur fornaldar og bréfið var til Eratosþenesar, vinar hans. Í bréfinu segir Arkímedes:

Það er auðvitað auðveldara að setja fram sönnun um reglu þegar við höfum safnað nokkrum upplýsingum um viðfangsefnið heldur en að finna regluna án nokkurrar fyrri þekkingar.

Ein aðferðanna sem Arkímedes notaði til að finna flatarmál var að skera myndir sínar niður í æ mjórri ræmur og leggja síðan saman flatarmál þeirra. Á sama hátt skar hann rúmmyndir niður í þunnar sneiðar og lagði saman rúmmál þeirra. Mörgum öldum síðar varð sú hugsun að einni megingrein stærðfræðinnar, stærðfræðigreiningunni. Á tíma Arkímedesar hafði hún ekki náð slíkri fullkomnun að hann teldi aðferðina fullgilda til sönnunar reglu. Hann notaði því aðferð sem afhjúpaði á engan hátt hvernig reglan hefði raunverulega orðið til.

Af því sem sagt hefur verið hér að framan er ljóst að oftast er lítið vitað um það hvernig stærðfræðingar til forna fundu formúlur sínar. Á því eru nokkrar meginskýringar.

• Í fyrsta lagi hafa margar reglur verið að þróast, ekki aðeins um aldir heldur um þúsaldir. Reglurnar hafa því oftast ekki verið uppgötvun einstaklinga heldur þekking sem borist hefur á milli kynslóðanna og verið betrumbætt á ýmsum skeiðum.
• Í öðru lagi var stærðfræðileg þekking oft bundin við fámenna hópa sem stundum mynduðu eins konar leynireglu um stærðfræðiiðkanir sínar eins og talið er að Pýþagóringar hafi gert og þá má vera að menn hafi ekki viljað láta neitt uppi um tilurð vitneskunnar.
• Í þriðja lagi eru heimildir mjög af skornum skammti um það sem eldra er en frá því um 300 f. Kr. Einnig það er að sjálfsögðu einungis til í miklu yngri uppskriftum. Þess vegna er Plimpton 322 fleygrúnasteinninn afar merk frumheimild þótt þar sé einungis að finna upptalningu á þekkingu þar sem aðeins er hægt að geta í eyðurnar um hvaða hugsun liggur að baki.
• Í fjórða lagi er bréf Arkímedesar til Eratosþenesar skýr heimild um að faglegar kröfur Grikkja, sem eru taldir upphafsmenn nútímastærðfræði, hafi hindrað þá í að afhjúpa aðferðirnar sem þeir beittu raunverulega til að finna reglur sínar í mörgum tilvikum. Eini kosturinn í slíkum tilvikum hefur þá verið að birta regluna og sýna fram á réttmæti hennar með óyggjandi hætti með mótsögn án þess að lesendur síðari tíma hafi haft neinar vísbendingar um hvernig reglan varð til í raun og veru.

Hversu gamlar eru pýþagórískar þrenndir?

Hver var Apollóníos frá Perga og hvert var framlag hans til vísindanna?

Heimildir:

• Victor Katz: A History of Mathematics. An Introduction. HarperCollins College Publishers. New York. 1993.
• Asger Aaboe: Episodes from the Early History of Mathematics. Mathematical Association of America. New Mathematics Library, 1975.

...