Er ennþá verið að finna upp á nýjum formúlum og jöfnum í stærðfræði?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Er ennþá verið að finna upp á nýjum formúlum og jöfnum í stærðfræði?
Svarið við spurningunni er - já svo sannarlega. Hins vegar er það ekki endilega svo vel þekkt meðal þeirra sem ekki fást við stærðfræði dags daglega. Þessi nýja stærðfræði er þó oft mun nær okkur en mætti ætla og er samofin flestum tækninýjungum. Sem dæmi má nefna símana okkar, þar sem ýmis reiknirit, gervigreind og GPS-staðsetningatækni byggir á flókinni stærðfræði sem er enn verið að rannsaka og þróa. Í stærðfræði og tengdum greinum er bæði fengist við að leiða út jöfnur og formúlur en líka við að skilja eiginleika flókinna kerfa, bæði rökfræðilega og með því að reikna. Spurningunni verður svarað ögn víðar með því að taka þetta síðarnefnda með.

Þegar við lærum fyrst um stærðfræði í skóla þá er gjarnan fjallað um efni sem þekkt hefur verið í þúsundir ára. Þar má til dæmis nefna margt sem tengist rúmfræði, líkt og formúlur fyrir flatarmáli og rúmmmáli og reglu Pýþagórasar (c.a. 500 f.o.t). Einnig er fengist við grunnatriði í talnafræði líkt og frumtölur og þáttun sem var vel þekkt meðal Forngrikkja. Evklíð (300 f.o.t.) sannaði til að mynda að frumtölurnar eru óendanlega margar og er það dæmi um niðurstöðu í stærðfræði sem er mikilvæg en er venjulega ekki sett fram með jöfnu eða formúlu (þó að það sé reyndar hægt). Í framhaldsskóla byrja sum að læra stærðfræðigreiningu sem er til dæmis notuð til að lýsa hreyfilögmálum eðlisfræðinnar, en hún var þróuð óháð af Isaac Newton (1643-1727) og Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) á 17. öld. Sú grein hefur þróast mikið síðan en flest allt sem dæmigerður framhaldsskólanemi lærir um stærðfræðigreiningu er samt vel yfir 100 ára gamalt. Það er því ekki óeðlilegt að sú spurning vakni hvort flest allt áhugavert og gagnlegt innan stærðfræðinnar sé þegar komið fram.

Mikil framþróun hefur orðið í stærðfræði á 20. og 21. öld bæði í rannsóknum á eldri greinum stærðfræðinnar og með tilkomu nýrra sviða innan stærðfræði. Nýjar tækniframfarir haldast oft í hendur við nýjar fræðilegar hugmyndir. Sem dæmi má nefna að upphaf fræðilegrar tölvunarfræði er gjarnan rakið til Ödu Lovelace (1815-1852), tengt svokallaðri greiningarvél Babbage. Þetta var löngu áður en nútímatölvan leit dagsins ljós, sem síðan hefur haft í för með sér enn frekari þróun á fræðilegri tölvunarfræði.

Í dag fara stærðfræðirannsóknir fram við fjölmarga háskóla í heiminum, þar með talið Háskóla Íslands og Háskólann í Reykjavík. Auk þess er stærðfræði þróuð og notuð víða í atvinnulífinu, sérstaklega í tengslum við hagnýtingar hennar. Loks má nefna að sumt fólk stundar stærðfræðirannsóknir sem áhugamál.

Ágætis leið til að meta umfang nýs stærðfæðilegs efnis sem gefið er út af háskólum og rannsóknastofnunum er að skoða nýjar birtingar í forprentagagnagrunninum arXiv.org. Þar er birt efni á 32 sviðum sem falla undir svokallaða hreina stærðfræði og í enn fleiri flokkum í skyldum greinum sem nota stærðfræði, líkt og eðlisfræði, tölvunarfræði, tölfræði og hagfræði. Sem dæmi um fjölda birtinga má nefna að í líkindafræði einni saman (sem er sérsvið höfundar og fellur undir hreina stærðfræði) eru birtar í kringum 10-20 greinar hvern virkan dag. Innihalda þeirra er misfrumlegt en flestar innihalda þær nýjar niðurstöður á formi setninga (eða reglna), jafna og formúla.

Stærðfræðirannsóknir geta verið fræðilegar og þá gjarnan innan hefbundinna greina hreinnar stærðfræði líkt og rúmfræði, algebru og stærðfræðigreiningar en einnig hagnýtar og snúa þá oft að nýjum áskorunum í tækni, vísindum og samfélagi. Þar má til dæmis nefna tölfræði sem meðal annars fæst við vinnslu stórra gagnasafna og þróun gervigreindar, kennilega eðlisfræði þar sem nýjar rannsóknir í algebru og diffurrúmfræði eru stundaðar til að lýsa gangverki alheimsins, og tölvunarfræði þar sem þróuð eru ný reiknirit fyrir bæði vísindi og samfélag.

Við notum margar þessara nýju niðurstaðna dags daglega án þess endilega að gera okkur grein fyrir því. Googlekort nota flókin reiknirit til að finna fyrir okkur stystu leið milli tveggja staða á korti (svið: netafræði, tölvunarfræði), GPS-staðsetningartæknin í símunum okkar tekur tillit til afstæðiskenningar Einsteins til að reikna út nákvæma staðsetningu (svið: diffurrúmfræði, kennileg eðlisfræði) og í dulkóðun á gögnum er notast við stórar frumtölur (svið: talnafræði, tölvunarfræði).

Nokkur óleyst verkefni innan hreinnar stærðfræði, sem ganga undir nafninu þúsaldarverkefnin (e. millenium problems) hafa hlotið sérstaka frægð og hverjum þeim sem leysir þau er lofað milljón dollara verðlaunum. Clay-stærðfræðistofnunin stofnaði til verðlaunanna árið 2000 og þau eru alls sjö talsins en til þessa hefur aðeins eitt þeirra verið leyst, en það er svokölluð Poincaré-tilgáta sem sönnuð var af Rússanum Grigori Perelman árið 2010. Það verður að fylgja sögunni að Perelman hafnaði milljón dollurunum þar sem hann taldi framlag sitt engu meira en þeirra sem átt höfðu þátt í að þróa fræðin upp að þeim tíma sem hann tók við keflinu.

Að lokum má geta þess að áhugafólk hefur einnig átt mikilvægt framlag til nýrrar stærðfræði. Nýlega (árið 2022) uppgötvaði til að mynda áhugastærðfræðingurinn David Smith flís sem nota má til að flísaleggja óendanlega stóran tvívíðan flöt án þess að nokkuð munstur endurtaki sig og átti þannig þátt í að leysa svokallað einstein-verkefni.

Myndir:

• Yfirlitsmynd: File:Smith aperiodic monotiling.svg - Wikimedia Commons. (Sótt 31.03.2025). Birt undir leyfinu Deed - Attribution 4.0 International - Creative Commons.
• Daniel Amankwah, Jakob Björnberg, Sigurður Örn Stefánsson, Benedikt Stufler & Joonas Turunen. The Scaling Limit of Random 2-Connected Series-Parallel maps. https://arxiv.org/pdf/2503.19705. (Sótt 31.03.2025).

...