Hvers konar stærðfræði er notuð til að lýsa útbreiðslu veirusjúkdóma?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hvers konar stærðfræði er notuð til að lýsa útbreiðslu veirusjúkdóma?
Þegar faraldur líkt og COVID-19 gengur yfir heimsbyggðina er mjög mikilvægt að geta spáð fyrir um útbreiðslu smita og grípa til aðgerða í samræmi við spárnar. Niðurstöður viðbragðsteymis vegna COVID-19 hjá Imperial College London hafa til að mynda talsvert verið í fjölmiðlum^[1] og einnig er starfandi hópur vísindafólks hérlendis sem vinnur að spálíkönum fyrir útbreiðsluna.^[2]

Í megindráttum eru tvær leiðir til að spá fyrir um útbreiðslu veirusjúkdóma í samfélagi með stærðfræðilegum aðferðum. Önnur þeirra gengur út á að nota þekktar niðurstöður um þróun fjölda smita, til dæmis úr öðrum samfélögum eða fyrir aðra sambærilega sjúkdóma, og gera ráð fyrir að útbreiðslan fylgi samskonar ferlum. Þá eru notaðar tölfræðilegar aðferðir til að meta hvaða ferlar falla best að þeim gögnum sem eru fyrir hendi og með því má spá fyrir um þróun á fjölda smita. Þessi aðferð er sögð empirísk þar sem hún byggir fyrst og fremst á athugunum en ekki á einhverju undirliggjandi líkani.

Hin aðferðin nálgast viðfangsefnið úr annarri átt. Þá er smíðað líkan yfir hvernig sjúkdómurinn gengur milli einstaklinga í samfélagi og með þeim hætti er hægt að reikna út hvernig fjöldi smitaðra þróast með tíma.

Kosturinn við fyrrnefndu aðferðina er að hún er í beinum tengslum við athuganir og þannig nokkuð áreiðanleg þegar kemur að því að spá fyrir um raunverulega þróun. Síðari aðferðin hefur hins vegar þann kost að hægt er að kanna ólík áhrif ýmissa þátta í líkaninu á útbreiðslu sjúkdómsins en hún er ekki endilega eins vel til þess fallin að spá fyrir um raunverulega þróun. Oft eru þessar aðferðir samnýttar að einhverju leyti. Til að mynda segja bæði mæliniðurstöður og einföld líkön að uppsafnaður fjöldi smitaðra fylgi svokölluðum lógistískum ferli en það er ein af forsendunum sem íslenska teymið vinnur út frá.^[3]

Áður en lengra er haldið er rétt að setja eftirfarandi fyrirvara: Þar sem ég er ekki sérfræðingur í faraldsfræði vil ég segja sem minnst um hvernig aðferðunum er raunverulega beitt. Aftur á móti ætla ég að lýsa í grófum dráttum hvernig líkanasmíðin í síðari aðferðinni fer fram og hvaða stærðfræði kemur þar við sögu. Það er vert að hafa í huga að spálíkönum um útbreiðslu smitsjúkdóma er ekki endilega ætlað að spá fyrir um raunverulega útkomu. Þegar spá liggur fyrir er nefnilega hægt að bregðast við og reyna að hafa áhrif á niðurstöðuna með aðgerðum. Þetta er mjög ólíkt til dæmis veðurspám þar sem við verðum venjulega að sætta okkur við það veður sem á okkur dynur.

SIR-líkanið

Einfaldasta stærðfræðilíkan sem lýsir útbreiðslu veirusjúkdóms í samfélagi gengur út á að skipta fólki í þrjá hópa:

• Móttækilega (e. Susceptible)
• Smitandi (e. Infectious)
• Fjarlægða (e. Removed/recovered)

Móttækilegir eru hópur þeirra einstaklinga sem ekki hafa enn smitast. Smitandi eru þeir sem hafa smitast og geta sjálfir smitað. Þeim er stundum skipt upp í tvo hópa, þá sem eru smitaðir en ekki enn smitandi og svo þá sem eru smitaðir og smitandi. Til einföldunar sláum við þessum hópum hins vegar saman í þessari umfjöllun. Fjarlægðir eru þeir sem hvorki geta sjálfir smitast né smitað aðra og meðal þeirra eru til dæmis einstaklingar sem hafa jafnað sig á smitinu, verið settir í einangrun eða jafnvel látist. Fólk getur svo færst milli hópa eftir eðli smitsjúkdómsins og samfélagsgerð. Vegna ensku heitanna sem tilgreind eru innan sviga nefnast líkön af þessari gerð jafnan SIR. Framvegis mun ég tákna hópana þrjá með bókstöfunum $S$, $I$ og $R$ og fjöldann innan hvers þeirra með $s$, $i$ og $r$, í sömu röð og þeir eru taldir upp að ofan.

Tölurnar $s=s(t)$, $i=i(t)$ og $r=r(t)$ eru háðar tíma $t$ (sem við munum mæla í dögum) og við höfum áhuga á að reikna hvernig hóparnir breytast í tíma til að skilja útbreiðslu sjúkdómsins. Það getur verið flókið að lýsa, skilja og mæla færslur milli hópanna $S$, $I$ og $R$ í raunverulegum faraldri sem gengur yfir samfélag. Til þess þurfa að liggja fyrir upplýsingar um tengslanet fólks, eðli smita, tímalengd smittímabils og margt fleira. Um ýmsar af þessum forsendum má lesa í svari Jóns Magnúsar Jóhannessonar við spurningunni Er hægt að reikna hvernig sjúkdómar eins og COVID-19 breiðast út? Í stað þess að fjalla um slík flókin verkefni í smáatriðum mun ég reyna að koma á framfæri hvers konar stærðfræði kemur við sögu með því að skoða dæmi um einfalt líkan af því hvernig einstaklingar færast á milli hópa. Þróun stærðanna $s(t)$, $i(t)$ og $r(t)$ er lýst með svokölluðum afleiðujöfnum (e. differential equations) sem ekki er víst að allir lesendur þekki en ég mun gera tilraun til að útskýra hugmyndina bak við þær.

Hugsum okkur að heildarfjöldi einstaklinga í samfélaginu sé $n=s+i+r$. Gefum okkur eftirfarandi forsendur um hvernig einstaklingar færast á milli hópa:

1. Einstaklingar í $S$ geta færst yfir í $I$. Hraði færslunnar er í réttu hlutfalli við fjölda tenginga milli hópanna $S$ og $I$.
2. Einstaklingar í $I$ geta færst yfir í $R$. Hraði færslunnar er í hlutfalli við fjölda smitaðra.
3. Þeir sem lenda í $R$ eru áfram í $R$ og færast ekkert annað.
4. Samskipti eru handahófskennd og tíðni atvika er ávallt hugsuð að jafnaði. (Dæmi: Einstaklingur í $I$ hittir að jafnaði 2 einstaklinga úr $S$ á dag sem valdir eru af handahófi.)
5. Fjöldi þeirra sem einstaklingur í $I$ hittir á dag (að jafnaði) þannig að hann smiti viðkomandi er þekktur. Táknum hann með $n\cdot a$ þar sem $a$ táknar þá hlutfallslegan fjölda.
6. Hlutfall smitandi einstaklinga sem batnar á dag (að jafnaði) er þekkt. Táknum það með $b$. Við getum hugsað um $1/b$ sem þann tíma sem tekur einn einstakling í $I$ að hætta að smita.

Að þessum forsendum gefnum er hægt að setja upp stærðfræðiformúlur, svokallaðar afleiðujöfnur, sem lýsa því hvernig stærðirnar $s(t)$, $i(t)$ og $r(t)$ breytast með tíma. Til þess að leysa þær þarf þó að þekkja tölurnar $a$ og $b$ ásamt því að vita hversu margir eru í hverjum hóp í upphafi faraldurs. Talan $a$ ræðst meðal annars af eiginleikum smitsjúkdóms en einnig af samfélagsgerð (til dæmis hversu oft og náið fólk hittist). Talan $b$ ræðst meðal annars af eiginleikum smitsjúkdóms, aðgengi að lyfjum og gæði heilbrigðisþjónustu. Tölurnar $a$ og $b$ má reyna að mæla innan okkar eigin samfélags eða jafnvel horfa til útbreiðslu í öðrum sambærilegum samfélögum. Til einföldunar gerum við ráð fyrir því að $a$ og $b$ breytist ekki með tíma en í raunveruleikanum eru þær háðar tíma. Ef til dæmis samkomubann er sett á er mjög líklegt að $a$ lækki og með tilkomu nýrra lyfja er mögulega hægt að hækka $b$. Þetta er hægt að taka með í líkanagerðina og þannig til dæmis kanna áhrif ólíkra aðgerða á útbreiðsluna.

Í forritinu hér að neðan má sjá lausnir á afleiðjujöfnunum sem sýna þróun smitsjúkdómsins miðað við mismunandi gildi á $a$, $b$ og upphaflegum fjölda smitaðra $i0$.

Heildarfjöldi einstaklinga í forritinu er $n=100$. Sjálfgefin gildi eru $a=0.01$, $b=0.1$ og $i0=5$. Miðað við þessi gildi er fjöldi einstaklinga sem aðili úr $I$ smitar á dag að jafnaði $n\cdot a = 100\cdot 0.01 = 1$ og hann hættir að smita að jafnaði á $1/b = 1/0.1=10$ dögum. Blái ferillinn lýsir $s(t)$ fjölda móttækilegra, rauði ferillinn lýsir $i(t)$ fjölda smitandi og græni ferillinn lýsir $r(t)$ fjölda fjarlægðra. Fjólublái ferillinn lýsir óheftum veldisvísisvexti og hann fylgir fjölda smitandi nokkuð vel á allra fyrstu dögunum. Hægt er að stilla upphaflegan fjölda smitandi $i0$ með því að renna tilsvarandi sleða í forritinu. Einnig má velja gildi á $a$ og $b$ og sjá hvernig ferlarnir breytast. Takið eftir því að með því að minnka $a$, (sem til dæmis gerist með því að draga úr samskiptum) er rauði ferillinn flattur.

Stærðfræðileg lýsing

Fyrir áhugasama er nánari lýsing hér fyrir neðan hvernig leiða má út afleiðujöfnur út frá forsendunum að ofan.

Fyrsti punkturinn í forsendunum krefst þess að við metum fjölda tenginga milli fólks í $S$ og $I$. Allra einfaldasta tilfellið er ef allir hafa möguleika á að hitta alla og hitta jafn marga. Þá er fjöldi mögulegra samskipta margfeldi $s(t)$ og $i(t)$.

Ekki er víst að allir hittist þó þeir hafi möguleika á því og fjöldi raunverulegra samskipta einstaklinga er fjöldi mögulegra samskipta, margfaldaður með hlutfallslegum fjölda samskipta hans að jafnaði. Fjöldinn sem smitast á dag er þá gefinn með

$$a s(t)i(t).$$

Glöggir lesendur átta sig ef til vill á því að þetta er ekki fullkomlega rétt talning því til dæmis gæti hver einstaklingur í $I$ alltaf hitt sama einstaklinginn í $S$ og engan annan og þannig myndi í raun í mesta lagi einn aðili í $S$ smitast. Ef fjöldi einstaklinga í samfélagi er hár og tillit er tekið til atriðis númer 4 að ofan þá eru líkurnar á þessu hins vegar litlar.

Að þessu gefnu má lýsa þróuninni á $s(t)$ með afleiðujöfnunni

$$\frac{ds(t)}{dt} = -a s(t)i(t).$$

Við skiljum jöfnuna þannig að $ds$ í vinstri hlið lýsir breytingu á $s(t)$ og $dt$ lýsir breytingu á tímanum $t$. Stærðin $\frac{ds}{dt}$ er því breyting á $s(t)$ á hverjum degi. Hægri hliðin er mínus fjöldinn sem smitast á dag sem við áætluðum fyrir ofan (mínusmerkið kemur til vegna þess að $s(t)$ er að minnka).

Þróun $i(t)$ er lýst með afleiðujöfnunni

$$\frac{di(t)}{dt} = as(t)i(t) - b i(t).$$

Vinstri hliðin er aftur túlkuð sem breyting á $i(t)$ á dag. Fyrsti liðurinn í hægri hliðinni er fjöldi smiðaðra sem koma úr $S$ á dag sem við reiknuðum fyrir ofan. Annar liðurinn er fjöldi þeirra sem fara úr $I$ yfir í $R$ á dag.

Þróunin á $r(t)$ er síðan lýst með afleiðujöfnunni

$$\frac{dr(t)}{dt} = bi(t)$$

það er breytingin á $r(t)$ er eingöngu komin til af þeim sem voru smitandi en hefur batnað. Þessar afleiðujöfnur má leysa saman með tölulegum aðferðum (líkt og gert er í forritinu hér að ofan) ef tölurnar $a$ og $b$ og upphaflegur fjöldi einstaklinga í hverjum hópi $S$, $I$ og $R$ er þekkt.

Raunsærri líkön

Ljóst er að ýmsir vankantar eru á líkaninu að ofan ef lýsa ætti útbreiðslu smitsjúkdóms í raunverulegu samfélagi. Ein leið til að fá raunsærra líkan er að skipta samfélaginu í smærri hólf, til dæmis eftir daglegum athöfnum: skólabörn, kennarar, heilbrigðisstarfsmenn, afgreiðslufólk..., eftir búsetu: Akureyri, Reykjavík, Vestmannaeyjar,... eða jafnvel eftir aldri, undirliggjandi sjúkdómum og svo mætti lengi telja. Hópur vísindamanna hefur sett upp svona hólfalíkan fyrir útbreiðslu COVID-19 sjúkdómsins í Wuhan og nýlega birtist grein þeirra í tímaritinu The Lancet.^[4]

Hvert þessara smærri hólfa hefur samskipti innan eigin hólfs og við önnur hólf og fyrir hver slík samskipti er sérstök tala $a$ sem getur verið háð því um hvaða hólf ræðir. Ef til dæmis tvö hólf væru til staðar yrðu jöfnurnar fyrir breytingu á hóp móttækilegra

$$ \frac{ds_1(t)}{dt} = -a_{11}s_1(t)i_1(t) - a_{12}s_1(t)i_2(t)$$

$$ \frac{ds_2(t)}{dt} = -a_{21}s_2(t)i_1(t) - a_{22}s_2(t)i_2(t)$$

þar sem $s_1$, $s_2$, $i_1$ og $i_2$ svara til fjölda í hólfi 1 og 2 innan hópa $S$ og $I$ og $a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22}$ eru tölur sem eru mælikvarði á samskipti milli hólfanna tveggja.

Ókosturinn við hólfalíkanið er að því fleiri hólf, því fleiri tölur $a$ þarf að mæla eða áætla. Kosturinn er hins vegar sá að líkanið verður raunsærra og einnig er hægt að kanna áhrif aðgerða með því til dæmis að sjá hvernig þróunin breytist ef samskiptamynstri tiltekinna hólfa er breytt.

Tilvísanir:

1. ^ Sjá heimild 1.
2. ^ Sjá heimild 2.
3. ^ Sjá heimild 2.
4. ^ Sjá heimild 4.

Heimildir

1. COVID-19 reports. Imperial College London. (Sótt 6.04.2020).
2. Spálíkan fyrir fjölda tilfella og álag á heilbrigðisþjónustu. Covid-19 á Íslandi. Háskóli Íslands. (Sótt 6.04.2020).
3. Jón Magnús Jóhannesson. Er hægt að reikna hvernig sjúkdómar eins og COVID-19 breiðast út? Vísindavefurinn. 31. 3 2020. (Sótt 6.04.2020).
4. Prem, K. o.fl. (2020). The effect of control strategies to reduce social mixing on outcomes of the COVID-19 epidemic in Wuhan, China: a modelling study. The Lancet Public Health.

Höfundur þakkar Brynjólfi Gauta Jónssyni, doktorsnema í líftölfræði við HÍ, og Benedikt Steinari Magnússyni, lektor í stærðfræði við HÍ, fyrir yfirlestur.

...