Hvað munar miklu á vegalengdinni ef ég ek hringveginn réttsælis og svo rangsælis?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hvað munar miklu á vegalengdinni ef ég ek hringveginn réttsælis og svo rangsælis?
Á hringveginum er yfirleitt akrein í sitt hvora áttina. Önnur þeirra er nær miðpunkti landsins en hin, svo lengd hennar ætti að vera styttri en lengd hinnar. Spurningin er hvort við vitum hversu mikið styttri hún sé og hvort við getum reiknað það.

Okkur ætti að vera ljóst að hægt væri að svara spurningunni ef við fáum til þess langa helgi, nægt eldsneyti á bílinn og sennilega nóg af kaffi líka! Við þurfum einfaldlega að keyra hringveginn tvisvar, einu sinni réttsælis og einu sinni rangsælis og lesa af kílómetramælinum hversu löng sitt hvor leiðin var. Áhugasamir lesendur eru hvattir til að gera það við tækifæri og bera niðurstöður sínar saman við greiningu okkar hér.

Áður en við leggjum í meiri útreikninga skulum við byrja á því að athuga einfaldari útgáfu af spurningunni til að fá tilfinningu fyrir hvað gæti verið rétt: Gerum ráð fyrir að hringvegurinn sé hringur. Við skulum þá segja að réttsælisvegurinn hafi geislann \(r\) og að rangsælisvegurinn hafi geislann $R$, og vegna þess að umferð á Íslandi keyrir hægra megin er þá $r < R$. Við skrifum því $R = r + b$, þar sem $b$ er bilið á milli veganna (sjá mynd 1).

Ummál hrings með geisla $r$ er $2\pi r$, svo að munurinn á þessum vegalengdum er

$$2\pi (r + b) - 2 \pi r = 2 \pi b.$$

Nú skulum við skoða upphaflegu spurninguna aftur. Við þurfum eitthvað stærðfræðilegt líkan af hringveginum, og það virðist eðlilegt að skoða það sem stærðfræðingar kalla veg: Það er samfellt og deildanlegt fall $f : [0,1] \to\mathbb{R}^2$ sem endar þar sem það byrjar, sem þýðir að $f(1) = f(0)$ (sjá mynd 2). Við getum gert ráð fyrir að fallið sem við veljum sé réttsælisvegurinn; í einfaldari útgáfunni hér að ofan væri þá $f(t) = (r \cos 2\pi t, r \sin 2\pi t)$. Við ætlum þar að auki að gera ráð fyrir að vegurinn fari aðeins einn hring í kringum landið.

Til að búa til rangsælisveginn út frá þessum ætlum við að bjaga réttsælisveginn aðeins „út á við“, sem þýðir stærðfræðilega í áttina að normalvigri sínum. Snertivigurinn $f'(t)$ við veginn táknar stefnu og hraða okkar á tíma $t$. Normalvigurinn $\nu(t)$ er svo vigurinn sem er hornréttur á $f'(t)$, vinstra megin við hann, og hefur lengdina $1$. Að þessu loknu er rangsælisvegurinn okkar þá $g(t) = f(t) + b \nu(t)$, þar sem $b$ er bilið á milli veganna tveggja (sjá mynd 3).

Til að reikna lengdina $L(f)$ á vegi $f$ reiknum við heildið

$$L(f) = \int_0^1 \|f'(t)\| dt,$$

þar sem $\|f'(t)\|$ er lengd $f'(t)$, sem við þekkjum betur sem hraðann sem við keyrum á. Þá sjáum við að lengd rangsælisvegarins er

$$L(g) = \int_0^1 \|g'(t)\| dt= \int_0^1 \|f'(t) + b \nu'(t)\| dt.$$

Frönsku stærðfræðingarnir Jean Frédéric Frenet (1816-1900) og Joseph-Alfred Serret (1819-1885) reiknuðu út^[1] að $\nu'(t) = - \kappa(t) f'(t)$, þar sem $\kappa(t)$ er krappi vegarins $f$ í punktinum $t$. Krappinn er mælikvarði á hversu mikið vegurinn beygir á hverjum stað; bein lína hefur krappann núll, á meðan að hringur hefur alls staðar sama krappann. Með þessari formúlu sjáum við að

$$L(g) = \int_0^1 |1 - b\kappa(t)| \|f'(t)\| dt.$$

Til að komast lengra ætlum við að beita stærðfræðilegum brellum. Stærðin $\|f'(t)\|$ táknar hraðann sem við keyrum á. Með því að keyra á hraðanum $1$ í $L(f)$ tíma, sem við hefðum hugsanlega ekki þolinmæði fyrir í alvörunni, þá er lengdin á réttsælis hringveginum einfaldlega $L(f) =\int_0^{L(f)} dt$. Þá einfaldast hitt heildið og lengdin á rangsælisveginum verður

$$L(g) = \int_0^{L(f)} |1 - b\kappa(t)| dt.$$

Ef við getum réttlætt að $b\kappa(t) < 1$ fyrir öll $t$ þá getum við reiknað algildið undir heildinu. En eftir smá umhugsun ættum við að geta gert ráð fyrir því: Breiddin $b$ er aðeins einhverjir metrar, og því stærri sem krappinn er því erfiðara er að taka beygjur eftir veginum. Þar sem leyfilegt er að keyra á 90 km/klst eftir mestmegninu af hringveginum getum við gert ráð fyrir að krappi hans sé frekar lítill, svo við skulum segja að skilyrðinu $b\kappa(t) < 1$ sé fullnægt. En þá erum við langt komin, því að mismunurinn á lengd veganna er þá

$$L(g) - L(f) = \int_0^{L(f)} b \kappa(t) dt.$$

Nú er merkileg staðreynd að heildið á krappanum yfir allan veginn er einfaldlega $2\pi$, alveg sama hver vegurinn $f$ er, svo lengi sem hann fer aðeins einn hring. Svarið við upprunalegu spurningunni er því að mismunurinn á lengdunum milli veganna er

$$ L(g) - L(f) = 2 \pi b,$$

þar sem $b$ er bilið á milli þeirra, alveg eins og í einfölduðu útgáfunni með hringjunum í upphafi. Það sem er sérstaklega merkilegt við þessa útkomu er að hún er algjörlega óháð hversu langur vegurinn er, það eina sem skiptir máli er bilið $b$ á milli rétt- og rangsælishluta hans. Við getum svarað spurningu um allan hringveginn með því að fara út á næstu götu og mæla bilið milli akreina þar.^[2]

Að þessu loknu er ágætt að skoða aftur þá hluti sem við höfum gert ráð fyrir til að komast hingað. Við gáfum okkur að hringvegurinn hefði ekki stóran krappa miðað við bilið á milli veganna tveggja, sem hlýtur að teljast raunhæft ef það á að vera hægt að keyra veginn á skynsamlegum hraða. Við gáfum okkur einnig að bilið $b$ á milli veganna væri alls staðar eins til að geta reiknað lokaheildið. Þetta er ekki satt í alvörunni, svo líkan okkar gefur ekki alveg rétt svar. Hins vegar getum við notað þetta líkan til að fá neðri og efri mörk $2\pi b \leq L \leq 2\pi B$, þar sem $b$ og $B$ eru minnstu og stærstu bilin milli veganna og $L$ er hið raunverulega svar.

Í lokin getum við ekki stillt okkur um að minnast á að þessir útreikningar útskýra af hverju rásmerkingar á hlaupabrautum eru á mismunandi stöðum. Ef lesendur hafa horft á hlaup á Ólympíuleiknum hafa þeir kannski séð að rásmerkin á ytri hlaupabrautum eru ekki á sama stað og merkin á þeim innri. Á hlaupabraut þar sem innsta brautin er 400 metrar er næst-innsta brautin 407.7 metra löng, þar næsta braut er 415.3 metrar, og sú þriðja 423 metrar. Mismunurinn hér er alltaf sá sami, eða um 7,7 metrar. Hver braut er 1,22 metra breið, og $2\pi *1,22 \cong 7,665$, svo rásmerking ytri brautar þarf að vera sirka 7,66 metrum framar merkingu innri brautar til að hlauparar á þeim báðum hlaupi sömu vegalengd.

Tilvísanir:

1. ^ Sjá hér: Frenet og Serret.
2. ^ Ef bilið er til dæmis 6 metrar þá er munurinn á vegalengd hringvegarins réttsælis og rangsælis tæpir 38 metrar.

---

Vísindavefurinn hefur nokkrum sinnum verið spurður um muninn á vegalengd hringvegarins eftir því hvor hringurinn er farinn, til dæmis:

• Ég var að pæla hvort það sé styttra að keyra hringveginn réttsælis vegna þess að þá værirðu á innri hringnum, svo að segja.
• Hvað munar mörgum kílómetrum á því að fara hringveginn um Ísland réttsælis eða rangsælis? Hversu mikið lengri er ytri hringur hringvegarins en sá innri?
• Hversu miklu munar, í kílómetrum talið, ef hringvegurinn er keyrður réttsælis frekar en rangsælis?

...